Pré-cálculo Exemplos

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1) = - \sin (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1)$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \csc (x)) (\cos (x) + 1)$

Etapa 2.1.2

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\cos (x) + 1)$

Etapa 2.2

Expanda $(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\cos (x) + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\cos (x) + 1) - \frac{1}{\sin (x)} (\cos (x) + 1)$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} (\cos (x) + 1)$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Combine $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Etapa 2.3.1.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Etapa 2.3.1.1.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Etapa 2.3.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Etapa 2.3.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Etapa 2.3.1.3

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 2.3.2

Subtraia $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + 0 - \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 2.3.3

Some $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ e $0$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1}{\sin (x)}$

Etapa 2.5

Reordene $\cos^{2} (x)$ e $- 1$ .

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.6

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.7

Fatore $- 1$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Etapa 2.8

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Etapa 2.9

Reescreva $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ como $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Etapa 2.10

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.11

Cancele o fator comum de $\sin^{2} (x)$ e $\sin (x)$ .

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Etapa 2.11.1

Fatore $\sin (x)$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)}$

Etapa 2.11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.11.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Etapa 2.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Etapa 2.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \sin (x)}{1}$

Etapa 2.11.2.4

Divida $- \sin (x)$ por $1$ .

$- \sin (x)$

Etapa 3

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1) = - \sin (x)$ é uma identidade