Pré-cálculo Exemplos

$\frac{2 (\tan (x) - \cot (x))}{\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)} = \sin (2 x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{2 (\tan (x) - \cot (x))}{\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)}$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cot (x))}{\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)}$

Etapa 2.1.2

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)}$

Etapa 2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \tan (x)$ e $b = \cot (x)$ .

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) - \cot (x))}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x)) (\tan (x) - \cot (x))}$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\tan (x) - \cot (x))}$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cot (x))}$

Etapa 2.2.2.4

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Etapa 2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1.1

Para escrever $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{2}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Etapa 3.1.2

Para escrever $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 3.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\cos (x) \sin (x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1.3.1

Multiplique $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{2}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 3.1.3.2

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}}$

$\frac{2}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Etapa 3.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Etapa 3.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.5.1

Multiplique $\sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 3.1.5.1.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Etapa 3.1.5.1.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Etapa 3.1.5.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Etapa 3.1.5.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{2} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Etapa 3.1.5.2

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 3.1.5.2.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Etapa 3.1.5.2.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Etapa 3.1.5.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Etapa 3.1.5.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Etapa 3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

Etapa 3.3

Combine $2$ e $\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{1}$

Etapa 4.2

Divida $2 \cos (x) \sin (x)$ por $1$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 4.3

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Etapa 4.4

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Etapa 4.5

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (2 x)$

Etapa 5

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{2 (\tan (x) - \cot (x))}{\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)} = \sin (2 x)$ é uma identidade