Pré-cálculo Exemplos

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x) = \csc^{2} (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

Etapa 2

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 2.1

Aplique a identidade recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

Etapa 2.2

Aplique a identidade recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

Etapa 2.3

Escreva $\cot (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x) + \cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.2

Some $- \cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) + 0}{\sin (x)}$

Etapa 3.3

Some $\sin (x)$ e $0$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique $\frac{1}{\sin (x)}$ por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.4.2.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.4.2.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.4.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.4.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.4.3

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 3.4.3.1

Fatore $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (\sin (x) \cdot - 1) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.4.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (\sin (x) \cdot - 1) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.4.4

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 3.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + 1$

Etapa 3.5

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + 0$

Etapa 3.6

Some $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ e $0$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4

Reescreva $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ como $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Etapa 5

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x) = \csc^{2} (x)$ é uma identidade