Pré-cálculo Exemplos

$2 \sec^{2} (x) = \frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)}$

Etapa 1

Comece do lado direito.

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)}$

Etapa 2

Some as frações.

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)}$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ por $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ por $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1 + \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - \sin (x) + 1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 - \sin (x) + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.2

Some $- \sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{2 + 0}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.3

Some $2$ e $0$ .

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Expanda $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2}{1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}$

Etapa 4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}$

Etapa 4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

$\frac{2}{1 - \sin^{2} (x)}$

Etapa 5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 6

Reescreva $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ como $2 \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x)$

Etapa 7

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$2 \sec^{2} (x) = \frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)}$ é uma identidade