Pré-cálculo Exemplos

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A) = - \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$

Etapa 1

Comece do lado direito.

$- \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Reescreva $\csc^{4} (A)$ como ${(\csc^{2} (A))}^{2}$ .

$- \cot^{4} (A) + {(\csc^{2} (A))}^{2}$

Etapa 2.2

Reescreva $\cot^{4} (A)$ como ${(\cot^{2} (A))}^{2}$ .

$- {(\cot^{2} (A))}^{2} + {(\csc^{2} (A))}^{2}$

Etapa 2.3

Reordene $- {(\cot^{2} (A))}^{2}$ e ${(\csc^{2} (A))}^{2}$ .

${(\csc^{2} (A))}^{2} - {(\cot^{2} (A))}^{2}$

Etapa 2.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \csc^{2} (A)$ e $b = \cot^{2} (A)$ .

$(\csc^{2} (A) + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Etapa 2.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1

Reescreva $\csc (A)$ em termos de senos e cossenos.

$({(\frac{1}{\sin (A)})}^{2} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Etapa 2.5.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\sin (A)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (A)} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Etapa 2.5.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Etapa 2.5.4

Reescreva $\cot (A)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Etapa 2.5.5

Aplique a regra do produto a $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Etapa 2.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) \cdot 1$

Etapa 2.7

Multiplique $\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

Etapa 3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + \cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

Etapa 4

Agora, considere o lado esquerdo da equação.

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A)$

Etapa 5

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 5.1

Escreva $\cot (A)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

${(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2} + \csc^{2} (A)$

Etapa 5.2

Aplique a identidade recíproca a $\csc (A)$ .

${(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (A)})}^{2}$

Etapa 5.3

Aplique a regra do produto a $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + {(\frac{1}{\sin (A)})}^{2}$

Etapa 5.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\sin (A)}$ .

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (A)}$

Etapa 6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + \frac{1}{\sin^{2} (A)}$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cos^{2} (A) + 1}{\sin^{2} (A)}$

Etapa 8

Reordene os termos.

$\frac{1 + \cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

Etapa 9

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A) = - \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$ é uma identidade