Pré-cálculo Exemplos

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Etapa 2

Multiplique $\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$ por $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ .

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$

Etapa 3

Combine.

$\frac{\sec (x) (1 - \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Etapa 4.2

Multiplique $\sec (x)$ por $1$ .

$\frac{\sec (x) + \sec (x) (- \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Etapa 4.3

Multiplique $\sec (x) (- \sec (x))$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Expanda $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 (1 - \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

Etapa 5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}$

Etapa 5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 - \sec^{2} (x)}$

Etapa 6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

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Etapa 6.1

Reordene $1$ e $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \sec^{2} (x) + 1}$

Etapa 6.2

Fatore $- 1$ de $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

Etapa 6.3

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Etapa 6.4

Fatore $- 1$ de $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

Etapa 6.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Etapa 7

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 7.1

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \sec^{2} (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Etapa 7.2

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{- \tan^{2} (x)}$

Etapa 7.3

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Etapa 7.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Etapa 7.5

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.3

Para escrever $\frac{1}{\cos (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de ${\cos (x)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.4.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.4.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.4.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.4.5

Some $1$ e $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.6

Cancele o fator comum de ${\cos (x)}^{2}$ .

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Etapa 8.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ para o numerador.

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 8.6.2

Fatore ${\cos (x)}^{2}$ de $- {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 8.6.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 8.6.4

Reescreva a expressão.

$(\cos (x) - 1) \frac{- 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 8.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(\cos (x) - 1) (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}) - 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.9

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.10

Multiplique $- 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \cos (x) + 1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 10

Reordene os termos.

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 11

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ é uma identidade