Pré-cálculo Exemplos

$\sec (\frac{19 π}{12})$

Etapa 1

Reescreva $\frac{19 π}{12}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\sec (\frac{\frac{19 π}{6}}{2})$

Etapa 2

Aplique a identidade recíproca a $\sec (\frac{\frac{19 π}{6}}{2})$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{\frac{19 π}{6}}{2})}$

Etapa 3

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}{2}}}$

Etapa 4

Change the $\pm$ to $+$ because secant is positive in the fourth quadrant.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}{2}}}$

Etapa 5

Simplifique $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}{2}}}$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}}$

Etapa 5.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}}}$

Etapa 5.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}}$

Etapa 5.1.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}}$

Etapa 5.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}}}$

Etapa 5.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.2

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}}$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}}$

Etapa 5.2.3

Reescreva $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}}$

Etapa 5.2.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}}$

Etapa 5.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}}$

Etapa 5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}$

Etapa 5.4

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}$ por $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}$

Forma decimal:

$3.86370330 \dots$