Pré-cálculo Exemplos

$6 \sin (\frac{π}{12}) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$6 \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$6 (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$6 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$6 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$6 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$2 (3) \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 2.2

Fatore $2$ de $4$ .

$2 \cdot 3 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 2} \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 3 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 2} \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 2.4

Reescreva a expressão.

$3 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 3

Combine $3$ e $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Etapa 4.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 4.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 4.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 4.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 4.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 4.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 4.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 4.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 4.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 4.7.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Etapa 4.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

Etapa 4.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 5

Multiplique $\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2}$ por $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(3 \sqrt{6} + 3 (- \sqrt{2})) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

Etapa 6.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{(3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

Etapa 6.3

Expanda $(3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 \sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

Etapa 6.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 \sqrt{6} \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

Etapa 6.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 \sqrt{6} \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1

Multiplique $3 \sqrt{6} \sqrt{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1.1

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.1.2

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 {\sqrt{6}}^{1 + 1} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{6}}^{2} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.2

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot 6^{1} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{3 \cdot 6 + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.3

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{18 + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.4

Multiplique $3 \sqrt{6} \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{18 + 3 \sqrt{2 \cdot 6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.4.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{18 + 3 \sqrt{12} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.5

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.5.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{18 + 3 \sqrt{4 (3)} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{18 + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 3} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{18 + 3 (2 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.7

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.8

Multiplique $- 3 \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.8.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{6 \cdot 2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.8.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{12} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.9

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.9.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{4 (3)} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.9.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2^{2} \cdot 3} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.10

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 (2 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.11

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.12

Multiplique $- 3 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.12.1

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8}$

Etapa 6.4.1.12.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8}$

Etapa 6.4.1.12.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8}$

Etapa 6.4.1.12.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.13

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.13.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Etapa 6.4.1.13.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Etapa 6.4.1.13.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Etapa 6.4.1.13.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.13.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Etapa 6.4.1.13.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 2^{1}}{8}$

Etapa 6.4.1.13.5

Avalie o expoente.

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 2}{8}$

Etapa 6.4.1.14

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 6}{8}$

Etapa 6.4.2

Subtraia $6$ de $18$ .

$\frac{12 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{8}$

Etapa 6.4.3

Subtraia $6 \sqrt{3}$ de $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 + 0}{8}$

Etapa 6.4.4

Some $12$ e $0$ .

$\frac{12}{8}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $12$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{4 (3)}{8}$

Etapa 7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

Etapa 7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

Etapa 7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3}{2}$

Forma decimal:

$1.5$

Forma de número misto:

$1 \frac{1}{2}$