Pré-cálculo Exemplos

$\tan (arccsc (x))$

Etapa 1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\sqrt{x^{2} - 1^{2}}, 1)$ , $(\sqrt{x^{2} - 1^{2}}, 0)$ e a origem. Então, $arccsc (x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\sqrt{x^{2} - 1^{2}}, 1)$ . Portanto, $\tan (arccsc (x))$ é $\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Etapa 2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1^{2}}}$

Etapa 2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 4.2

Eleve $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 4.3

Eleve $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1}}$

Etapa 4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Etapa 4.6

Reescreva ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ como $(x + 1) (x - 1)$ .

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Etapa 4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ como ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{1}}$

Etapa 4.6.5

Simplifique.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$