Pré-cálculo Exemplos

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)} > 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x = 0$

$2 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3

Substitua os valores $a = 2$ , $b = 2$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $8$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{4}$

Etapa 4.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i}{2}$

Etapa 5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Etapa 6

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

$x = - 1$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = 0, - 1$

Etapa 9

Encontre o domínio de $\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)}$ .

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x (x + 1) = 0$

Etapa 9.2

Resolva $x$ .

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Etapa 9.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 9.2.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 9.2.3

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.2.3.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 9.2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 9.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{2 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) + 1}{(- 4) ((- 4) + 1)} > 0$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $2.08\overline{3}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 0.5$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $- 0.5$ na desigualdade original.

$\frac{2 {(- 0.5)}^{2} + 2 (- 0.5) + 1}{(- 0.5) ((- 0.5) + 1)} > 0$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $- 2$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{2 {(2)}^{2} + 2 (2) + 1}{(2) ((2) + 1)} > 0$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $2.1\overline{6}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadeiro

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadeiro

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 1$ ou $x > 0$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < - 1 or x > 0$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (0, \infty)$

Etapa 14