Pré-cálculo Exemplos

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} < \frac{13}{4 - x^{2}}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{13}{4 - x^{2}}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{4 - x^{2}} < 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{4 - x^{2}}$ .

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Etapa 2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{2^{2} - x^{2}} < 0$

Etapa 2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = x$ .

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{2}{x + 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Etapa 2.3

Para escrever $\frac{x}{2 - x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} + \frac{x}{2 - x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Etapa 2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 2) (2 - x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.4.1

Multiplique $\frac{2}{x + 2}$ por $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(x + 2) (2 - x)} + \frac{x}{2 - x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $\frac{x}{2 - x}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(x + 2) (2 - x)} + \frac{x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Etapa 2.4.3

Reordene os fatores de $(x + 2) (2 - x)$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(2 - x) (x + 2)} + \frac{x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (2 - x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 + 2 (- x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Etapa 2.6.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{4 - 2 x + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Etapa 2.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 - 2 x + x \cdot x + x \cdot 2}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Etapa 2.6.5

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{4 - 2 x + x^{2} + x \cdot 2}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Etapa 2.6.6

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{4 - 2 x + x^{2} + 2 \cdot x}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Etapa 2.6.7

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{4 + x^{2} + 0}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Etapa 2.6.8

Some $4 + x^{2}$ e $0$ .

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Etapa 2.7

Reordene os termos.

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(x + 2) (2 - x)} < 0$

Etapa 2.8

Reordene os fatores de $(x + 2) (2 - x)$ .

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Etapa 2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 + x^{2} - 13}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Etapa 2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.1

Subtraia $13$ de $4$ .

$\frac{x^{2} - 9}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Etapa 2.10.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Etapa 2.10.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$2 - x = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 4

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 5

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = - 2$

Etapa 7

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 7.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Etapa 8

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 9

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 3$

$x = 3$

$x = 2$

$x = - 2$

Etapa 10

Consolide as soluções.

$x = - 3, 3, 2, - 2$

Etapa 11

Encontre o domínio de $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)}$ .

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Etapa 11.1

Defina o denominador em $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(2 - x) (x + 2) = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x$ .

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Etapa 11.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 - x = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 11.2.2

Defina $2 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.2.2.1

Defina $2 - x$ como igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Etapa 11.2.2.2

Resolva $2 - x = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.2.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = - 2$

Etapa 11.2.2.2.2

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 11.2.2.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 11.2.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 11.2.2.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 11.2.2.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 11.2.2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.2.2.2.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Etapa 11.2.3

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.2.3.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 11.2.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 11.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(2 - x) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 2$

Etapa 11.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 12

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 13

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 13.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 13.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{2}{(- 6) + 2} + \frac{- 6}{2 - (- 6)} < \frac{13}{4 - {(- 6)}^{2}}$

Etapa 13.1.3

O lado esquerdo $- 1.25$ é menor do que o lado direito $- 0.40625$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 13.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2.5$

Etapa 13.2.2

Substitua $x$ por $- 2.5$ na desigualdade original.

$\frac{2}{(- 2.5) + 2} + \frac{- 2.5}{2 - (- 2.5)} < \frac{13}{4 - {(- 2.5)}^{2}}$

Etapa 13.2.3

O lado esquerdo $- 4.\overline{5}$ não é menor do que o lado direito $- 5.\overline{7}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 13.3

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 13.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{2}{(0) + 2} + \frac{0}{2 - (0)} < \frac{13}{4 - {(0)}^{2}}$

Etapa 13.3.3

O lado esquerdo $1$ é menor do que o lado direito $3.25$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 13.4

Teste um valor no intervalo $2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.4.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2.5$

Etapa 13.4.2

Substitua $x$ por $2.5$ na desigualdade original.

$\frac{2}{(2.5) + 2} + \frac{2.5}{2 - (2.5)} < \frac{13}{4 - {(2.5)}^{2}}$

Etapa 13.4.3

O lado esquerdo $- 4.\overline{5}$ não é menor do que o lado direito $- 5.\overline{7}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 13.5

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 13.5.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{2}{(6) + 2} + \frac{6}{2 - (6)} < \frac{13}{4 - {(6)}^{2}}$

Etapa 13.5.3

O lado esquerdo $- 1.25$ é menor do que o lado direito $- 0.40625$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 13.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 2$ Verdadeiro

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 2$ Verdadeiro

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

Etapa 14

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 3$ ou $- 2 < x < 2$ ou $x > 3$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < - 3 or - 2 < x < 2 or x > 3$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup (- 2, 2) \cup (3, \infty)$

Etapa 16