Pré-cálculo Exemplos

${(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot i)}^{3}$

Etapa 1

Combine $\frac{1}{2}$ e $i$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 2

Use o teorema binomial.

${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3^{3}}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.2.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{\sqrt{27}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.2.3

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Fatore $9$ de $27$ .

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.2.3.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{3^{1}}{2^{2}} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{3}{2^{2}} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 (\frac{3}{4}) \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.7

Multiplique $3 (\frac{3}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.7.1

Combine $3$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{3 \cdot 3}{4} \cdot \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.7.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9}{4} \cdot \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.8

Multiplique $\frac{9}{4} \cdot \frac{i}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.8.1

Multiplique $\frac{9}{4}$ por $\frac{i}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{4 \cdot 2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.8.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.9

Combine $3$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.10

Aplique a regra do produto a $\frac{i}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i^{2}}{2^{2}} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.11

Combine.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.12

Multiplique $2$ por $2^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.12.1

Multiplique $2$ por $2^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.12.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.12.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i^{2}}{2^{1 + 2}} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.12.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.13.1

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{3 \sqrt{3} \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.13.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{- 3 \sqrt{3}}{2^{3}} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.14

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{- 3 \sqrt{3}}{8} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.16

Aplique a regra do produto a $\frac{i}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{i^{3}}{2^{3}}$

Etapa 3.1.17

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.17.1

Fatore $i^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{i^{2} \cdot i}{2^{3}}$

Etapa 3.1.17.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 1 \cdot i}{2^{3}}$

Etapa 3.1.17.3

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{- i}{2^{3}}$

Etapa 3.1.18

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{- i}{8}$

Etapa 3.1.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} - \frac{i}{8}$

Etapa 3.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 \sqrt{3} + 9 i - 3 \sqrt{3} - i}{8}$

Etapa 3.2.2

Subtraia $3 \sqrt{3}$ de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{0 + 9 i - i}{8}$

Etapa 3.2.3

Some $0$ e $9 i$ .

$\frac{9 i - i}{8}$

Etapa 3.2.4

Subtraia $i$ de $9 i$ .

$\frac{8 i}{8}$

Etapa 3.2.5

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 i}{8}$

Etapa 3.2.5.2

Divida $i$ por $1$ .

$i$