Pré-cálculo Exemplos

$\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 9}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 9}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{x}{x^{2} - 9} \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x = 0$

$x^{2} - 9 = 0$

Etapa 2.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 9$

Etapa 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 2.4

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

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Etapa 2.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 2.6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = 3, - 3$

Etapa 2.7

Consolide as soluções.

$x = 0, 3, - 3$

Etapa 2.8

Encontre o domínio de $\frac{x}{x^{2} - 9}$ .

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Etapa 2.8.1

Defina o denominador em $\frac{x}{x^{2} - 9}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 9 = 0$

Etapa 2.8.2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.8.2.1

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 9$

Etapa 2.8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 2.8.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

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Etapa 2.8.2.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 2.8.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 2.8.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.8.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 2.8.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 2.8.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 2.8.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 2.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 2.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 2.10.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{- 6}{{(- 6)}^{2} - 9} \geq 0$

Etapa 2.10.1.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{2}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.10.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 2.10.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} - 9} \geq 0$

Etapa 2.10.2.3

O lado esquerdo $0.4$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.10.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.10.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 2.10.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{2}{{(2)}^{2} - 9} \geq 0$

Etapa 2.10.3.3

O lado esquerdo $- 0.4$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.10.4

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.10.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 2.10.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{6}{{(6)}^{2} - 9} \geq 0$

Etapa 2.10.4.3

O lado esquerdo $0.\overline{2}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.10.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

Etapa 2.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 3 < x \leq 0$ ou $x > 3$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{x}{x^{2} - 9}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 9 = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 9$

Etapa 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 4.3

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

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Etapa 4.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 4.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 4.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 4.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 4.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- 3, 0] \cup (3, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 3 < x \leq 0, x > 3}$

Etapa 6