Pré-cálculo Exemplos

$\log_{2} (8) + \log_{8} (x + 2) - \log_{4} (x^{4} + 4 x^{2} + 4)$

Etapa 1

Defina o argumento em $\log_{8} (x + 2)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x + 2 > 0$

Etapa 2

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$x > - 2$

Etapa 3

Defina o argumento em $\log_{4} (x^{4} + 4 x^{2} + 4)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{4} + 4 x^{2} + 4 > 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$u^{2} + 4 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 4.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u^{2} + 4 u + 2^{2} = 0$

Etapa 4.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Etapa 4.2.3

Reescreva o polinômio.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Etapa 4.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 2$ .

${(u + 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.3

Defina $u + 2$ como igual a $0$ .

$u + 2 = 0$

Etapa 4.4

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$u = - 2$

Etapa 4.5

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = - 2$

Etapa 4.6

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 4.6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Etapa 4.6.2

Simplifique $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Etapa 4.6.2.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Etapa 4.6.2.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Etapa 4.6.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Etapa 4.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.6.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{2}$

Etapa 4.6.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{2}$

Etapa 4.6.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 4.7

Identifique o coeficiente de maior ordem.

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Etapa 4.7.1

O termo de maior ordem em um polinômio é o termo com o grau mais alto.

$x^{4}$

Etapa 4.7.2

O coeficiente de maior ordem de um polinômio é o coeficiente do termo de maior ordem.

$1$

Etapa 4.8

Como não há intersecções reais com o eixo x e o coeficiente de maior ordem é positivo, a parábola abre para cima e $x^{4} + 4 x^{2} + 4$ é sempre maior do que $0$ .

Todos os números reais

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- 2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > - 2}$

Etapa 6