Pré-cálculo Exemplos

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + x + 5}{x^{2} + 3 x + 2}$

Etapa 1

Divida usando a divisão polinomial longa.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x$ .

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

Etapa 1.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

$5$

Etapa 1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 7 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

						$2 x$	-	$7$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$5$
					-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	+	$5$

Etapa 1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$2 x$	-	$7$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$5$
					-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	+	$5$
							-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$14$

Etapa 1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 7 x^{2} - 21 x - 14$ .

$2 x$

$7$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

$5$

$7 x^{2}$

$21 x$

$14$

Etapa 1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x$

$7$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

$5$

$7 x^{2}$

$21 x$

$14$

$18 x$

$19$

Etapa 1.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$2 x - 7 + \frac{18 x + 19}{x^{2} + 3 x + 2}$

Etapa 2

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $x^{2} + 3 x + 2$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $3$ .

$1, 2$

Etapa 2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{18 x + 19}{(x + 1) (x + 2)}$

Etapa 2.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Etapa 2.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

Etapa 2.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{(18 x + 19) (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(18 x + 19) (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(18 x + 19) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(18 x + 19) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.6.2

Divida $18 x + 19$ por $1$ .

$18 x + 19 = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1

Cancele o fator comum.

$18 x + 19 = \frac{A (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.7.1.2

Divida $(A) (x + 2)$ por $1$ .

$18 x + 19 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$18 x + 19 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.7.3

Mova $2$ para a esquerda de $A$ .

$18 x + 19 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.7.4

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$18 x + 19 = A x + 2 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.7.4.2

Divida $(B) (x + 1)$ por $1$ .

$18 x + 19 = A x + 2 A + (B) (x + 1)$

Etapa 2.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$18 x + 19 = A x + 2 A + B x + B \cdot 1$

Etapa 2.7.6

Multiplique $B$ por $1$ .

$18 x + 19 = A x + 2 A + B x + B$

Etapa 2.8

Mova $2 A$ .

$18 x + 19 = A x + B x + 2 A + B$

Etapa 3

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$18 = A + B$

Etapa 3.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$19 = 2 A + B$

Etapa 3.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$18 = A + B$

$19 = 2 A + B$

$18 = A + B$

$19 = 2 A + B$

Etapa 4

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Resolva $A$ em $18 = A + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 18$ .

$A + B = 18$

$19 = 2 A + B$

Etapa 4.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 18 - B$

$19 = 2 A + B$

$A = 18 - B$

$19 = 2 A + B$

Etapa 4.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $18 - B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $19 = 2 A + B$ por $18 - B$ .

$19 = 2 (18 - B) + B$

$A = 18 - B$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique $2 (18 - B) + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$19 = 2 \cdot 18 + 2 (- B) + B$

$A = 18 - B$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Multiplique $2$ por $18$ .

$19 = 36 + 2 (- B) + B$

$A = 18 - B$

Etapa 4.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$19 = 36 - 2 B + B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - 2 B + B$

$A = 18 - B$

Etapa 4.2.2.1.2

Some $- 2 B$ e $B$ .

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

Etapa 4.3

Resolva $B$ em $19 = 36 - B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Reescreva a equação como $36 - B = 19$ .

$36 - B = 19$

$A = 18 - B$

Etapa 4.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Subtraia $36$ dos dois lados da equação.

$- B = 19 - 36$

$A = 18 - B$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $36$ de $19$ .

$- B = - 17$

$A = 18 - B$

$- B = - 17$

$A = 18 - B$

Etapa 4.3.3

Divida cada termo em $- B = - 17$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Divida cada termo em $- B = - 17$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

Etapa 4.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

Etapa 4.3.3.2.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

$B = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

Etapa 4.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.3.1

Divida $- 17$ por $- 1$ .

$B = 17$

$A = 18 - B$

$B = 17$

$A = 18 - B$

$B = 17$

$A = 18 - B$

$B = 17$

$A = 18 - B$

Etapa 4.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $17$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 18 - B$ por $17$ .

$A = 18 - (17)$

$B = 17$

Etapa 4.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Simplifique $18 - (17)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $17$ .

$A = 18 - 17$

$B = 17$

Etapa 4.4.2.1.2

Subtraia $17$ de $18$ .

$A = 1$

$B = 17$

$A = 1$

$B = 17$

$A = 1$

$B = 17$

$A = 1$

$B = 17$

Etapa 4.5

Liste todas as soluções.

$A = 1, B = 17$

Etapa 5

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $2 x - 7 + \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$2 x - 7 + \frac{1}{x + 1} + \frac{17}{x + 2}$