Pré-cálculo Exemplos

$\frac{3 x^{2} - 2 x + 4}{x^{2} (2 - x)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{2 - x}$

Etapa 1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x^{2} (2 - x)$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2 x + 4) (x^{2} (2 - x))}{x^{2} (2 - x)} = \frac{A (x^{2} (2 - x))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(3 x^{2} - 2 x + 4) (x^{2} (2 - x))}{x^{2} (2 - x)} = \frac{A (x^{2} (2 - x))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(3 x^{2} - 2 x + 4) (2 - x)}{2 - x} = \frac{A (x^{2} (2 - x))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $2 - x$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(3 x^{2} - 2 x + 4) (2 - x)}{2 - x} = \frac{A (x^{2} (2 - x))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.4.2

Divida $3 x^{2} - 2 x + 4$ por $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = \frac{A (x^{2} (2 - x))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = \frac{A (x^{2} (2 - x))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.5.1.2

Divida $A (2 - x)$ por $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = A (2 - x) + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = A \cdot 2 + A (- x) + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.5.3

Mova $2$ para a esquerda de $A$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 \cdot A + A (- x) + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.5.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 \cdot A - A x + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.5.5

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 1.5.5.1

Fatore $x$ de $B (x^{2} (2 - x))$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + \frac{x (B (x (2 - x)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + \frac{x (B (x (2 - x)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.5.5.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + \frac{x (B (x (2 - x)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.5.5.2.3

Cancele o fator comum.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + \frac{x (B (x (2 - x)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.5.5.2.4

Reescreva a expressão.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + \frac{B (x (2 - x))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.5.5.2.5

Divida $B (x (2 - x))$ por $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + B (x (2 - x)) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.5.6

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + B (x \cdot 2 + x (- x)) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.5.7

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + B (2 \cdot x + x (- x)) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.5.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + B (2 \cdot x - x \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.5.9

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.9.1

Mova $x$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + B (2 x - (x \cdot x)) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.5.9.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + B (2 x - x^{2}) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.5.10

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + B (2 x) + B (- x^{2}) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.5.11

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + 2 B x + B (- x^{2}) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.5.12

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + 2 B x - B x^{2} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.5.13

Cancele o fator comum de $2 - x$ .

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Etapa 1.5.13.1

Cancele o fator comum.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + 2 B x - B x^{2} + \frac{C (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Etapa 1.5.13.2

Divida $(C) (x^{2})$ por $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + 2 B x - B x^{2} + (C) (x^{2})$

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + 2 B x - B x^{2} + C x^{2}$

Etapa 1.6

Reordene.

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Etapa 1.6.1

Mova $A$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - x A + 2 B x - B x^{2} + C x^{2}$

Etapa 1.6.2

Mova $B$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - x A + 2 x B - B x^{2} + C x^{2}$

Etapa 1.6.3

Mova $B$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - x A + 2 x B - x^{2} B + C x^{2}$

Etapa 1.6.4

Mova $2 A$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = - x A + 2 x B - x^{2} B + C x^{2} + 2 A$

Etapa 1.6.5

Mova $2 x B$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = - x A - x^{2} B + C x^{2} + 2 x B + 2 A$

Etapa 1.6.6

Mova $- x A$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = - x^{2} B + C x^{2} - x A + 2 x B + 2 A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$3 = - 1 B + C$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 2 = - 1 A + 2 B$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$4 = 2 A$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

$4 = 2 A$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

$4 = 2 A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $4 = 2 A$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $2 A = 4$ .

$2 A = 4$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

Etapa 3.1.2

Divida cada termo em $2 A = 4$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Divida cada termo em $2 A = 4$ por $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{4}{2}$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 A}{2} = \frac{4}{2}$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

Etapa 3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{4}{2}$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

$A = \frac{4}{2}$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

$A = \frac{4}{2}$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.2.3.1

Divida $4$ por $2$ .

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $2$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 2 = - 1 A + 2 B$ por $2$ .

$- 2 = - 1 \cdot 2 + 2 B$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 = - 2 + 2 B$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 2 + 2 B$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 2 + 2 B$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $- 2 = - 2 + 2 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- 2 + 2 B = - 2$ .

$- 2 + 2 B = - 2$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$2 B = - 2 + 2$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Etapa 3.3.2.2

Some $- 2$ e $2$ .

$2 B = 0$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$2 B = 0$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $2 B = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $2 B = 0$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{0}{2}$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 B}{2} = \frac{0}{2}$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{0}{2}$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$B = \frac{0}{2}$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$B = \frac{0}{2}$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$B = 0$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$B = 0$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$B = 0$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$B = 0$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $0$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $3 = - 1 B + C$ por $0$ .

$3 = - 1 \cdot 0 + C$

$B = 0$

$A = 2$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $- 1 \cdot 0 + C$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$3 = 0 + C$

$B = 0$

$A = 2$

Etapa 3.4.2.1.2

Some $0$ e $C$ .

$3 = C$

$B = 0$

$A = 2$

$3 = C$

$B = 0$

$A = 2$

$3 = C$

$B = 0$

$A = 2$

$3 = C$

$B = 0$

$A = 2$

Etapa 3.5

Reescreva a equação como $C = 3$ .

$C = 3$

$B = 0$

$A = 2$

Etapa 3.6

Resolva o sistema de equações.

$C = 3 B = 0 A = 2$

Etapa 3.7

Liste todas as soluções.

$C = 3, B = 0, A = 2$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{2 - x}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{3}{2 - x}$