Pré-cálculo Exemplos

$\frac{- 4}{x^{2} (x + 5)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 5}$

Etapa 1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x^{2} (x + 5)$ .

$\frac{(- 4) (x^{2} (x + 5))}{x^{2} (x + 5)} = \frac{A (x^{2} (x + 5))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 5))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 (x^{2} (x + 5))}{x^{2} (x + 5)} = \frac{A (x^{2} (x + 5))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 5))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(- 4) (x + 5)}{x + 5} = \frac{A (x^{2} (x + 5))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 5))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 (x + 5)}{x + 5} = \frac{A (x^{2} (x + 5))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 5))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.4.2

Divida $- 4$ por $1$ .

$- 4 = \frac{A (x^{2} (x + 5))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 5))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$- 4 = \frac{A (x^{2} (x + 5))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 5))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.5.1.2

Divida $A (x + 5)$ por $1$ .

$- 4 = A (x + 5) + \frac{B (x^{2} (x + 5))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 = A x + A \cdot 5 + \frac{B (x^{2} (x + 5))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.5.3

Mova $5$ para a esquerda de $A$ .

$- 4 = A x + 5 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x + 5))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.5.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 1.5.4.1

Fatore $x$ de $B (x^{2} (x + 5))$ .

$- 4 = A x + 5 A + \frac{x (B (x (x + 5)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.5.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 4 = A x + 5 A + \frac{x (B (x (x + 5)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.5.4.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$- 4 = A x + 5 A + \frac{x (B (x (x + 5)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.5.4.2.3

Cancele o fator comum.

$- 4 = A x + 5 A + \frac{x (B (x (x + 5)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.5.4.2.4

Reescreva a expressão.

$- 4 = A x + 5 A + \frac{B (x (x + 5))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.5.4.2.5

Divida $B (x (x + 5))$ por $1$ .

$- 4 = A x + 5 A + B (x (x + 5)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 = A x + 5 A + B (x \cdot x + x \cdot 5) + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.5.6

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 4 = A x + 5 A + B (x^{2} + x \cdot 5) + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.5.7

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$- 4 = A x + 5 A + B (x^{2} + 5 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.5.8

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 = A x + 5 A + B x^{2} + B (5 x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.5.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 4 = A x + 5 A + B x^{2} + 5 B x + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.5.10

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

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Etapa 1.5.10.1

Cancele o fator comum.

$- 4 = A x + 5 A + B x^{2} + 5 B x + \frac{C (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.5.10.2

Divida $(C) (x^{2})$ por $1$ .

$- 4 = A x + 5 A + B x^{2} + 5 B x + (C) (x^{2})$

$- 4 = A x + 5 A + B x^{2} + 5 B x + C x^{2}$

Etapa 1.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.6.1

Mova $B$ .

$- 4 = A x + 5 A + B x^{2} + 5 x B + C x^{2}$

Etapa 1.6.2

Mova $5 A$ .

$- 4 = A x + B x^{2} + 5 x B + C x^{2} + 5 A$

Etapa 1.6.3

Mova $5 x B$ .

$- 4 = A x + B x^{2} + C x^{2} + 5 x B + 5 A$

Etapa 1.6.4

Mova $A x$ .

$- 4 = B x^{2} + C x^{2} + A x + 5 x B + 5 A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = B + C$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + 5 B$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 4 = 5 A$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

$- 4 = 5 A$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

$- 4 = 5 A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $- 4 = 5 A$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $5 A = - 4$ .

$5 A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

Etapa 3.1.2

Divida cada termo em $5 A = - 4$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Divida cada termo em $5 A = - 4$ por $5$ .

$\frac{5 A}{5} = \frac{- 4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 A}{5} = \frac{- 4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

Etapa 3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

$A = \frac{- 4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

$A = \frac{- 4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- \frac{4}{5}$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + 5 B$ por $- \frac{4}{5}$ .

$0 = (- \frac{4}{5}) + 5 B$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = - \frac{4}{5} + 5 B$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = - \frac{4}{5} + 5 B$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = - \frac{4}{5} + 5 B$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $0 = - \frac{4}{5} + 5 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- \frac{4}{5} + 5 B = 0$ .

$- \frac{4}{5} + 5 B = 0$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

Etapa 3.3.2

Some $\frac{4}{5}$ aos dois lados da equação.

$5 B = \frac{4}{5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $5 B = \frac{4}{5}$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $5 B = \frac{4}{5}$ por $5$ .

$\frac{5 B}{5} = \frac{\frac{4}{5}}{5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 B}{5} = \frac{\frac{4}{5}}{5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{\frac{4}{5}}{5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$B = \frac{\frac{4}{5}}{5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$B = \frac{\frac{4}{5}}{5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$B = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

Etapa 3.3.3.3.2

Multiplique $\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Etapa 3.3.3.3.2.1

Multiplique $\frac{4}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$B = \frac{4}{5 \cdot 5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

Etapa 3.3.3.3.2.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{4}{25}$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $0 = B + C$ por $\frac{4}{25}$ .

$0 = (\frac{4}{25}) + C$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Remova os parênteses.

$0 = \frac{4}{25} + C$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = \frac{4}{25} + C$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = \frac{4}{25} + C$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

Etapa 3.5

Resolva $C$ em $0 = \frac{4}{25} + C$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $\frac{4}{25} + C = 0$ .

$\frac{4}{25} + C = 0$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

Etapa 3.5.2

Subtraia $\frac{4}{25}$ dos dois lados da equação.

$C = - \frac{4}{25}$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

$C = - \frac{4}{25}$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

Etapa 3.6

Resolva o sistema de equações.

$C = - \frac{4}{25} B = \frac{4}{25} A = - \frac{4}{5}$

Etapa 3.7

Liste todas as soluções.

$C = - \frac{4}{25}, B = \frac{4}{25}, A = - \frac{4}{5}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 5}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{\frac{4}{5}}{x^{2}} + \frac{\frac{4}{25}}{x} + \frac{- \frac{4}{25}}{x + 5}$