Pré-cálculo Exemplos

$\frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{b + 1} > \frac{8}{15}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{8}{15}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{b + 1} - \frac{8}{15}$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{1}{2 b + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{b + 1}{b + 1}$ .

$\frac{1}{2 b + 1} \cdot \frac{b + 1}{b + 1} + \frac{1}{b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{1}{b + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 b + 1}{2 b + 1}$ .

$\frac{1}{2 b + 1} \cdot \frac{b + 1}{b + 1} + \frac{1}{b + 1} \cdot \frac{2 b + 1}{2 b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(2 b + 1) (b + 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2 b + 1}$ por $\frac{b + 1}{b + 1}$ .

$\frac{b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} + \frac{1}{b + 1} \cdot \frac{2 b + 1}{2 b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{1}{b + 1}$ por $\frac{2 b + 1}{2 b + 1}$ .

$\frac{b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} + \frac{2 b + 1}{(b + 1) (2 b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(b + 1) (2 b + 1)$ .

$\frac{b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} + \frac{2 b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{b + 1 + 2 b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Etapa 2.5

Some $b$ e $2 b$ .

$\frac{3 b + 1 + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Etapa 2.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Etapa 2.7

Para escrever $\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)} \cdot \frac{15}{15} - \frac{8}{15} > 0$

Etapa 2.8

Para escrever $- \frac{8}{15}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)}$ .

$\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)} \cdot \frac{15}{15} - \frac{8}{15} \cdot \frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.9

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.9.1

Multiplique $\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)}$ por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15} - \frac{8}{15} \cdot \frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.9.2

Multiplique $\frac{8}{15}$ por $\frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)}$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15} - \frac{8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 ((2 b + 1) (b + 1))} > 0$

Etapa 2.9.3

Reordene os fatores de $(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{15 (2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 ((2 b + 1) (b + 1))} > 0$

Etapa 2.9.4

Reordene os fatores de $15 ((2 b + 1) (b + 1))$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{15 (2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15 - 8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 b \cdot 15 + 2 \cdot 15 - 8 (2 b + 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.2

Multiplique $15$ por $3$ .

$\frac{45 b + 2 \cdot 15 - 8 (2 b + 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.3

Multiplique $2$ por $15$ .

$\frac{45 b + 30 - 8 (2 b + 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{45 b + 30 + (- 8 (2 b) - 8 \cdot 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.5

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$\frac{45 b + 30 + (- 16 b - 8 \cdot 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.6

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$\frac{45 b + 30 + (- 16 b - 8) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.7

Expanda $(- 16 b - 8) (b + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.11.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{45 b + 30 - 16 b (b + 1) - 8 (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{45 b + 30 - 16 b \cdot b - 16 b \cdot 1 - 8 (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{45 b + 30 - 16 b \cdot b - 16 b \cdot 1 - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.11.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.11.8.1.1

Multiplique $b$ por $b$ somando os expoentes.

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Etapa 2.11.8.1.1.1

Mova $b$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 (b \cdot b) - 16 b \cdot 1 - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.8.1.1.2

Multiplique $b$ por $b$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 16 b \cdot 1 - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.8.1.2

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 16 b - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.8.1.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 16 b - 8 b - 8}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.8.2

Subtraia $8 b$ de $- 16 b$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 24 b - 8}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.9

Subtraia $24 b$ de $45 b$ .

$\frac{21 b + 30 - 16 b^{2} - 8}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.10

Subtraia $8$ de $30$ .

$\frac{21 b - 16 b^{2} + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.11

Reordene os termos.

$\frac{- 16 b^{2} + 21 b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.12

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.11.12.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 16 \cdot 22 = - 352$ e cuja soma é $b = 21$ .

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Etapa 2.11.12.1.1

Fatore $21$ de $21 b$ .

$\frac{- 16 b^{2} + 21 (b) + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.12.1.2

Reescreva $21$ como $- 11$ mais $32$

$\frac{- 16 b^{2} + (- 11 + 32) b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.12.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 16 b^{2} - 11 b + 32 b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.12.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.11.12.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- 16 b^{2} - 11 b) + 32 b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.12.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{b (- 16 b - 11) - 2 (- 16 b - 11)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.11.12.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 16 b - 11$ .

$\frac{(- 16 b - 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.12

Fatore $- 1$ de $- 16 b$ .

$\frac{(- (16 b) - 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.13

Reescreva $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$\frac{(- (16 b) - 1 (11)) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.14

Fatore $- 1$ de $- (16 b) - 1 (11)$ .

$\frac{- (16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.15

Reescreva $- (16 b + 11)$ como $- 1 (16 b + 11)$ .

$\frac{- 1 (16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 2.16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$16 b + 11 = 0$

$b - 2 = 0$

$2 b + 1 = 0$

$b + 1 = 0$

Etapa 4

Subtraia $11$ dos dois lados da equação.

$16 b = - 11$

Etapa 5

Divida cada termo em $16 b = - 11$ por $16$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $16 b = - 11$ por $16$ .

$\frac{16 b}{16} = \frac{- 11}{16}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $16$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16 b}{16} = \frac{- 11}{16}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $b$ por $1$ .

$b = \frac{- 11}{16}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$b = - \frac{11}{16}$

Etapa 6

Some $2$ aos dois lados da equação.

$b = 2$

Etapa 7

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 b = - 1$

Etapa 8

Divida cada termo em $2 b = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $2 b = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $b$ por $1$ .

$b = \frac{- 1}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$b = - \frac{1}{2}$

Etapa 9

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$b = - 1$

Etapa 10

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$b = - \frac{11}{16}$

$b = 2$

$b = - \frac{1}{2}$

$b = - 1$

Etapa 11

Consolide as soluções.

$b = - \frac{11}{16}, 2, - \frac{1}{2}, - 1$

Etapa 12

Encontre o domínio de $- \frac{(16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)}$ .

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Etapa 12.1

Defina o denominador em $\frac{(16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$15 (2 b + 1) (b + 1) = 0$

Etapa 12.2

Resolva $b$ .

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Etapa 12.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 b + 1 = 0$

$b + 1 = 0$

Etapa 12.2.2

Defina $2 b + 1$ como igual a $0$ e resolva para $b$ .

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Etapa 12.2.2.1

Defina $2 b + 1$ como igual a $0$ .

$2 b + 1 = 0$

Etapa 12.2.2.2

Resolva $2 b + 1 = 0$ para $b$ .

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Etapa 12.2.2.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 b = - 1$

Etapa 12.2.2.2.2

Divida cada termo em $2 b = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 12.2.2.2.2.1

Divida cada termo em $2 b = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 12.2.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 12.2.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.2.2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 12.2.2.2.2.2.1.2

Divida $b$ por $1$ .

$b = \frac{- 1}{2}$

Etapa 12.2.2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.2.2.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$b = - \frac{1}{2}$

Etapa 12.2.3

Defina $b + 1$ como igual a $0$ e resolva para $b$ .

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Etapa 12.2.3.1

Defina $b + 1$ como igual a $0$ .

$b + 1 = 0$

Etapa 12.2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$b = - 1$

Etapa 12.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $15 (2 b + 1) (b + 1) = 0$ verdadeiro.

$b = - \frac{1}{2}, - 1$

Etapa 12.3

O domínio consiste em todos os valores de $b$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Etapa 13

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$b < - 1$

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$

$- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < b < 2$

$b > 2$

Etapa 14

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 14.1

Teste um valor no intervalo $b < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.1.1

Escolha um valor no intervalo $b < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$b = - 4$

Etapa 14.1.2

Substitua $b$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{1}{2 (- 4) + 1} + \frac{1}{(- 4) + 1} > \frac{8}{15}$

Etapa 14.1.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{476190}$ não é maior do que o lado direito $0.5\overline{3}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 14.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < b < - \frac{11}{16}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < b < - \frac{11}{16}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$b = - 0.84$

Etapa 14.2.2

Substitua $b$ por $- 0.84$ na desigualdade original.

$\frac{1}{2 (- 0.84) + 1} + \frac{1}{(- 0.84) + 1} > \frac{8}{15}$

Etapa 14.2.3

O lado esquerdo $4.77941176$ é maior do que o lado direito $0.5\overline{3}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 14.3

Teste um valor no intervalo $- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.3.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$b = - 0.59$

Etapa 14.3.2

Substitua $b$ por $- 0.59$ na desigualdade original.

$\frac{1}{2 (- 0.59) + 1} + \frac{1}{(- 0.59) + 1} > \frac{8}{15}$

Etapa 14.3.3

O lado esquerdo $- 3.\overline{11653}$ não é maior do que o lado direito $0.5\overline{3}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 14.4

Teste um valor no intervalo $- \frac{1}{2} < b < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.4.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{1}{2} < b < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$b = 0$

Etapa 14.4.2

Substitua $b$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{1}{2 (0) + 1} + \frac{1}{(0) + 1} > \frac{8}{15}$

Etapa 14.4.3

O lado esquerdo $2$ é maior do que o lado direito $0.5\overline{3}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 14.5

Teste um valor no intervalo $b > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.5.1

Escolha um valor no intervalo $b > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$b = 4$

Etapa 14.5.2

Substitua $b$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{1}{2 (4) + 1} + \frac{1}{(4) + 1} > \frac{8}{15}$

Etapa 14.5.3

O lado esquerdo $0.3\overline{1}$ não é maior do que o lado direito $0.5\overline{3}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 14.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$b < - 1$ Falso

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$ Verdadeiro

$- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < b < 2$ Verdadeiro

$b > 2$ Falso

$b < - 1$ Falso

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$ Verdadeiro

$- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < b < 2$ Verdadeiro

$b > 2$ Falso

Etapa 15

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$ ou $- \frac{1}{2} < b < 2$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 1 < b < - \frac{11}{16} or - \frac{1}{2} < b < 2$

Notação de intervalo:

$(- 1, - \frac{11}{16}) \cup (- \frac{1}{2}, 2)$

Etapa 17