Pré-cálculo Exemplos

$\tan (\arccos (\frac{x}{5}))$

Etapa 1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ , $(\frac{x}{5}, 0)$ e a origem. Então, $\arccos (\frac{x}{5})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ . Portanto, $\tan (\arccos (\frac{x}{5}))$ é $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}}{\frac{x}{5}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}}{\frac{x}{5}}$

Etapa 2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}} \frac{5}{x}$

Etapa 3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}} \frac{5}{x}$

Etapa 4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \frac{x}{5}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})} \frac{5}{x}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{(\frac{5}{5} + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})} \frac{5}{x}$

Etapa 5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{5 + x}{5} (1 - \frac{x}{5})} \frac{5}{x}$

Etapa 5.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{5 + x}{5} (\frac{5}{5} - \frac{x}{5})} \frac{5}{x}$

Etapa 5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{5 + x}{5} \cdot \frac{5 - x}{5}} \frac{5}{x}$

Etapa 5.5

Multiplique $\frac{5 + x}{5}$ por $\frac{5 - x}{5}$ .

$\sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{5 \cdot 5}} \frac{5}{x}$

Etapa 5.6

Multiplique $5$ por $5$ .

$\sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}} \frac{5}{x}$

Etapa 6

Reescreva $\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}$ como ${(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))$ .

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Etapa 6.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(5 + x) (5 - x)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{25}} \frac{5}{x}$

Etapa 6.2

Fatore a potência perfeita $5^{2}$ de $25$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}} \frac{5}{x}$

Etapa 6.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))} \frac{5}{x}$

Etapa 7

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{1}{5} \sqrt{(5 + x) (5 - x)} \frac{5}{x}$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{5}$ e $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5} \cdot \frac{5}{x}$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5} \cdot \frac{5}{x}$

Etapa 9.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} \frac{1}{x}$

Etapa 10

Combine $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{x}$