Pré-cálculo Exemplos

$\log (8 - x) > 2 \log (x + 4)$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\log (8 - x) = 2 \log (x + 4)$

Etapa 2

Resolva a equação.

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Etapa 2.1

Simplifique $2 \log (x + 4)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log (8 - x) = \log ({(x + 4)}^{2})$

Etapa 2.2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$8 - x = {(x + 4)}^{2}$

Etapa 2.3

Resolva $x$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique ${(x + 4)}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$8 - x = 0 + 0 + {(x + 4)}^{2}$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva ${(x + 4)}^{2}$ como $(x + 4) (x + 4)$ .

$8 - x = (x + 4) (x + 4)$

Etapa 2.3.1.3

Expanda $(x + 4) (x + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 - x = x (x + 4) + 4 (x + 4)$

Etapa 2.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 - x = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)$

Etapa 2.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 - x = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$8 - x = x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.4.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$8 - x = x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.4.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$8 - x = x^{2} + 4 x + 4 x + 16$

Etapa 2.3.1.4.2

Some $4 x$ e $4 x$ .

$8 - x = x^{2} + 8 x + 16$

Etapa 2.3.2

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$x^{2} + 8 x + 16 = 8 - x$

Etapa 2.3.3

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.3.3.1

Some $x$ aos dois lados da equação.

$x^{2} + 8 x + 16 + x = 8$

Etapa 2.3.3.2

Some $8 x$ e $x$ .

$x^{2} + 9 x + 16 = 8$

Etapa 2.3.4

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 9 x + 16 - 8 = 0$

Etapa 2.3.5

Subtraia $8$ de $16$ .

$x^{2} + 9 x + 8 = 0$

Etapa 2.3.6

Fatore $x^{2} + 9 x + 8$ usando o método AC.

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Etapa 2.3.6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $8$ e cuja soma é $9$ .

$1, 8$

Etapa 2.3.6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 1) (x + 8) = 0$

Etapa 2.3.7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 8 = 0$

Etapa 2.3.8

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.8.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.3.8.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.3.9

Defina $x + 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.9.1

Defina $x + 8$ como igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

Etapa 2.3.9.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x = - 8$

Etapa 2.3.10

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x + 8) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, - 8$

Etapa 3

Encontre o domínio de $\log (\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}})$ .

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Etapa 3.1

Defina o argumento em $\log (\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}} > 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$8 - x = 0$

${(x + 4)}^{2} = 0$

Etapa 3.2.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$- x = - 8$

Etapa 3.2.3

Divida cada termo em $- x = - 8$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.2.3.1

Divida cada termo em $- x = - 8$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 3.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 3.2.3.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 3.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.3.1

Divida $- 8$ por $- 1$ .

$x = 8$

Etapa 3.2.4

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 3.2.5

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 3.2.6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 8$

$x = - 4$

Etapa 3.2.7

Consolide as soluções.

$x = 8, - 4$

Etapa 3.2.8

Encontre o domínio de $\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ .

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Etapa 3.2.8.1

Defina o denominador em $\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Etapa 3.2.8.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.8.2.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 3.2.8.2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 3.2.8.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Etapa 3.2.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < 8$

$x > 8$

Etapa 3.2.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 3.2.10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.2.10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 3.2.10.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{8 - (- 6)}{{((- 6) + 4)}^{2}} > 0$

Etapa 3.2.10.1.3

O lado esquerdo $3.5$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 3.2.10.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.2.10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 3.2.10.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{8 - (0)}{{((0) + 4)}^{2}} > 0$

Etapa 3.2.10.2.3

O lado esquerdo $0.5$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 3.2.10.3

Teste um valor no intervalo $x > 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.2.10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 3.2.10.3.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

$\frac{8 - (10)}{{((10) + 4)}^{2}} > 0$

Etapa 3.2.10.3.3

O lado esquerdo $- 0.01020408$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 3.2.10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < 8$ Verdadeiro

$x > 8$ Falso

$x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < 8$ Verdadeiro

$x > 8$ Falso

Etapa 3.2.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 4$ ou $- 4 < x < 8$

Etapa 3.3

Defina o denominador em $\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Etapa 3.4

Resolva $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 3.4.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 3.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 8)$

Etapa 4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$- 1 < x < 8$

$x > 8$

Etapa 5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 5.1

Teste um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 5.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

$\log (8 - (- 10)) > 2 \log ((- 10) + 4)$

Etapa 5.1.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

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Etapa 5.1.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.1.3.2

The right side has no solution, which means that the given statement is false.

False

Etapa 5.2

Teste um valor no intervalo $- 8 < x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 8 < x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 5.2.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\log (8 - (- 6)) > 2 \log ((- 6) + 4)$

Etapa 5.2.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.2.3.2

The right side has no solution, which means that the given statement is false.

False

Etapa 5.3

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 5.3.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\log (8 - (- 2)) > 2 \log ((- 2) + 4)$

Etapa 5.3.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $0.60205999$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 5.4

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.4.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 5.4.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\log (8 - (0)) > 2 \log ((0) + 4)$

Etapa 5.4.3

O lado esquerdo $0.90308998$ não é maior do que o lado direito $1.20411998$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 5.5

Teste um valor no intervalo $x > 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 5.5.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

$\log (8 - (10)) > 2 \log ((10) + 4)$

Etapa 5.5.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.5.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

False

Etapa 5.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Falso

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Falso

Etapa 6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 4 < x < - 1$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 4 < x < - 1$

Notação de intervalo:

$(- 4, - 1)$

Etapa 8