Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} - 3 x^{3} - x^{2} + 3 x \leq 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{4} - 3 x^{3} - x^{2} + 3 x = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Fatore $x$ de $x^{4} - 3 x^{3} - x^{2} + 3 x$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 3 x^{3} - x^{2} + 3 x = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x$ de $- 3 x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 3 x^{2}) - x^{2} + 3 x = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 3 x^{2}) + x (- x) + 3 x = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore $x$ de $3 x$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 3 x^{2}) + x (- x) + x \cdot 3 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $x$ de $x \cdot x^{3} + x (- 3 x^{2})$ .

$x (x^{3} - 3 x^{2}) + x (- x) + x \cdot 3 = 0$

Etapa 2.1.6

Fatore $x$ de $x (x^{3} - 3 x^{2}) + x (- x)$ .

$x (x^{3} - 3 x^{2} - x) + x \cdot 3 = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $x$ de $x (x^{3} - 3 x^{2} - x) + x \cdot 3$ .

$x (x^{3} - 3 x^{2} - x + 3) = 0$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x ((x^{3} - 3 x^{2}) - x + 3) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (x^{2} (x - 3) - (x - 3)) = 0$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 3$ .

$x ((x - 3) (x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 2.4

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x ((x - 3) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Etapa 2.5

Fatore.

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Etapa 2.5.1

Fatore.

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Etapa 2.5.1.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$x ((x - 3) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Etapa 2.5.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x ((x - 3) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 2.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 7

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 7.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3, - 1, 1$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

${(- 4)}^{4} - 3 {(- 4)}^{3} - {(- 4)}^{2} + 3 (- 4) \leq 0$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $420$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 0.5$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $- 0.5$ na desigualdade original.

${(- 0.5)}^{4} - 3 {(- 0.5)}^{3} - {(- 0.5)}^{2} + 3 (- 0.5) \leq 0$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $- 1.3125$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.5$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $0.5$ na desigualdade original.

${(0.5)}^{4} - 3 {(0.5)}^{3} - {(0.5)}^{2} + 3 (0.5) \leq 0$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $0.9375$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.4

Teste um valor no intervalo $1 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.4.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 10.4.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

${(2)}^{4} - 3 {(2)}^{3} - {(2)}^{2} + 3 (2) \leq 0$

Etapa 10.4.3

O lado esquerdo $- 6$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.5

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 10.5.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

${(6)}^{4} - 3 {(6)}^{3} - {(6)}^{2} + 3 (6) \leq 0$

Etapa 10.5.3

O lado esquerdo $630$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 1 \leq x \leq 0$ ou $1 \leq x \leq 3$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 1 \leq x \leq 0 or 1 \leq x \leq 3$

Notação de intervalo:

$[- 1, 0] \cup [1, 3]$

Etapa 13