Pré-cálculo Exemplos

$- 2 \ln (x) = \ln (\frac{5}{2})$

Etapa 1

Simplifique $- 2 \ln (x)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (x^{- 2}) = \ln (\frac{5}{2})$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$x^{- 2} = \frac{5}{2}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} = \frac{5}{2}$

Etapa 3.2

Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda. Defina-o como igual ao produto do denominador da primeira fração e o numerador da segunda fração.

$1 \cdot 2 = x^{2} \cdot 5$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $x^{2} \cdot 5 = 1 \cdot 2$ .

$x^{2} \cdot 5 = 1 \cdot 2$

Etapa 3.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x^{2} \cdot 5 = 2$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $x^{2} \cdot 5 = 2$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $x^{2} \cdot 5 = 2$ por $5$ .

$\frac{x^{2} \cdot 5}{5} = \frac{2}{5}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} \cdot 5}{5} = \frac{2}{5}$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{5}$

Etapa 3.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

Etapa 3.3.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{2}{5}}$ .

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Etapa 3.3.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{2}{5}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Etapa 3.3.5.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 3.3.5.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.3.5.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 3.3.5.3.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 3.3.5.3.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 3.3.5.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.3.5.3.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 3.3.5.3.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 3.3.5.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.5.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.5.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.3.5.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.5.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.3.5.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 3.3.5.3.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Etapa 3.3.5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.5.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Etapa 3.3.5.4.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 3.3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 3.3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 3.3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $- 2 \ln (x) = \ln (\frac{5}{2})$ verdadeira.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Forma decimal:

$x = 0.63245553 \dots$