Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} e^{x} - 3 e^{x} < 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} e^{x} - 3 e^{x} = 0$

Etapa 2

Fatore $e^{x}$ de $x^{2} e^{x} - 3 e^{x}$ .

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Etapa 2.1

Fatore $e^{x}$ de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} - 3 e^{x} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $e^{x}$ de $- 3 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 3 = 0$

Etapa 2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 3$ .

$e^{x} (x^{2} - 3) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 4

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $x^{2} - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 3$

Etapa 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 5.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 5.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 5.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{x} (x^{2} - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \sqrt{3}$

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

$x > \sqrt{3}$

Etapa 8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 8.1

Teste um valor no intervalo $x < - \sqrt{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \sqrt{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 8.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

${(- 4)}^{2} e^{- 4} - 3 e^{- 4} < 0$

Etapa 8.1.3

O lado esquerdo $0.2381033$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.2

Teste um valor no intervalo $- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{2} e^{0} - 3 e^{0} < 0$

Etapa 8.2.3

O lado esquerdo $- 3$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.3

Teste um valor no intervalo $x > \sqrt{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \sqrt{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 8.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

${(4)}^{2} e^{4} - 3 e^{4} < 0$

Etapa 8.3.3

O lado esquerdo $709.77595043$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \sqrt{3}$ Falso

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ Verdadeiro

$x > \sqrt{3}$ Falso

$x < - \sqrt{3}$ Falso

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ Verdadeiro

$x > \sqrt{3}$ Falso

Etapa 9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

Notação de intervalo:

$(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

Etapa 11