Pré-cálculo Exemplos

$\log_{3} (3 x - 6) < 2$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\log_{3} (3 x - 6) = 2$

Etapa 2

Resolva a equação.

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Etapa 2.1

Reescreva $\log_{3} (3 x - 6) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{2} = 3 x - 6$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.2.1

Reescreva a equação como $3 x - 6 = 3^{2}$ .

$3 x - 6 = 3^{2}$

Etapa 2.2.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$3 x - 6 = 9$

Etapa 2.2.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.2.3.1

Some $6$ aos dois lados da equação.

$3 x = 9 + 6$

Etapa 2.2.3.2

Some $9$ e $6$ .

$3 x = 15$

Etapa 2.2.4

Divida cada termo em $3 x = 15$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.2.4.1

Divida cada termo em $3 x = 15$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{15}{3}$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{15}{3}$

Etapa 2.2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{15}{3}$

Etapa 2.2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.3.1

Divida $15$ por $3$ .

$x = 5$

Etapa 3

Encontre o domínio de $\log_{3} (3 x - 6) - 2$ .

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Etapa 3.1

Defina o argumento em $\log_{3} (3 x - 6)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$3 x - 6 > 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $6$ aos dois lados da desigualdade.

$3 x > 6$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $3 x > 6$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $3 x > 6$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} > \frac{6}{3}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} > \frac{6}{3}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x > \frac{6}{3}$

Etapa 3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.3.1

Divida $6$ por $3$ .

$x > 2$

Etapa 3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(2, \infty)$

Etapa 4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 2$

$2 < x < 5$

$x > 5$

Etapa 5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 5.1

Teste um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 5.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\log_{3} (3 (0) - 6) < 2$

Etapa 5.1.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

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Etapa 5.1.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.1.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

False

Etapa 5.2

Teste um valor no intervalo $2 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.2.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 5.2.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\log_{3} (3 (4) - 6) < 2$

Etapa 5.2.3

O lado esquerdo $1.63092975$ é menor do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 5.3

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 5.3.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\log_{3} (3 (8) - 6) < 2$

Etapa 5.3.3

O lado esquerdo $2.63092975$ não é menor do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 5.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

Etapa 6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$2 < x < 5$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$2 < x < 5$

Notação de intervalo:

$(2, 5)$

Etapa 8