Pré-cálculo Exemplos

$\cos (45) \cos (15) - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (15) - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.2

O valor exato de $\cos (15)$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (45 - 30) - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.2.2

Separar negativação.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (45 - (30)) - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.2.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.2.4

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.2.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.2.6

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.2.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.2.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.2.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.2.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.2.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.2.8.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.2.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.2.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.3

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \cdot 4} - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.6

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{12} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.7.2

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.7.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.7.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.7.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.7.5

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.7.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.8

Cancele o fator comum de $2 \sqrt{3} + 2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.8.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (1)}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.8.3

Fatore $2$ de $2 (\sqrt{3}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.8.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 (4)} - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.8.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 \cdot 4} - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.8.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \sin (45) \sin (15)$

Etapa 1.9

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (15)$

Etapa 1.10

O valor exato de $\sin (15)$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (45 - 30)$

Etapa 1.10.2

Separar negativação.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (45 - (30))$

Etapa 1.10.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Etapa 1.10.4

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Etapa 1.10.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

Etapa 1.10.6

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

Etapa 1.10.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.10.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.10.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.10.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.10.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.10.8.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.8.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Etapa 1.10.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Etapa 1.10.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Etapa 1.11

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.11.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{8}$

Etapa 1.12

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 1.13

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 1.14

Multiplique $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.14.1

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8}$

Etapa 1.14.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8}$

Etapa 1.14.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8}$

Etapa 1.14.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Etapa 1.15

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.15.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Etapa 1.15.2

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.15.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Etapa 1.15.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Etapa 1.15.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Etapa 1.15.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.15.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Etapa 1.15.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Etapa 1.15.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Etapa 1.15.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.15.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Etapa 1.15.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8}$

Etapa 1.15.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8}$

Etapa 1.15.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2}{8}$

Etapa 1.16

Cancele o fator comum de $2 \sqrt{3} - 2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.16.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8}$

Etapa 1.16.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8}$

Etapa 1.16.3

Fatore $2$ de $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8}$

Etapa 1.16.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.16.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)}$

Etapa 1.16.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.16.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

Etapa 2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{3} + 1 - (\sqrt{3} - 1)}{4}$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} - - 1}{4}$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1}{4}$

Etapa 4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Subtraia $\sqrt{3}$ de $\sqrt{3}$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{4}$

Etapa 4.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1 + 1}{4}$

Etapa 4.2.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{4}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Etapa 4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$