Pré-cálculo Exemplos

$\sin (40) \cos (15) - \cos (40) \sin (15)$

Etapa 1

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

O valor exato de $\cos (15)$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.1.1.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\sin (40) \cos (45 - 30) - \cos (40) \sin (15)$

Etapa 1.1.1.2

Separar negativação.

$\sin (40) \cos (45 - (30)) - \cos (40) \sin (15)$

Etapa 1.1.1.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\sin (40) (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \cos (40) \sin (15)$

Etapa 1.1.1.4

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (40) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \cos (40) \sin (15)$

Etapa 1.1.1.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (40) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) - \cos (40) \sin (15)$

Etapa 1.1.1.6

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (40) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) - \cos (40) \sin (15)$

Etapa 1.1.1.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\sin (40) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \cos (40) \sin (15)$

Etapa 1.1.1.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.1.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.1.1.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (40) (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \cos (40) \sin (15)$

Etapa 1.1.1.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\sin (40) (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \cos (40) \sin (15)$

Etapa 1.1.1.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\sin (40) (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \cos (40) \sin (15)$

Etapa 1.1.1.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sin (40) (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \cos (40) \sin (15)$

Etapa 1.1.1.8.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.1.8.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sin (40) (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) - \cos (40) \sin (15)$

Etapa 1.1.1.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sin (40) (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) - \cos (40) \sin (15)$

Etapa 1.1.1.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sin (40) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \cos (40) \sin (15)$

Etapa 1.1.2

Combine $\sin (40)$ e $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sin (40) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \cos (40) \sin (15)$

Etapa 1.1.3

O valor exato de $\sin (15)$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.1.3.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{\sin (40) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \cos (40) \sin (45 - 30)$

Etapa 1.1.3.2

Separar negativação.

$\frac{\sin (40) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \cos (40) \sin (45 - (30))$

Etapa 1.1.3.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\frac{\sin (40) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \cos (40) (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Etapa 1.1.3.4

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sin (40) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \cos (40) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Etapa 1.1.3.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sin (40) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \cos (40) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

Etapa 1.1.3.6

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sin (40) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \cos (40) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

Etapa 1.1.3.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (40) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \cos (40) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.1.3.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.3.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.1.3.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sin (40) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \cos (40) (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.1.3.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sin (40) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \cos (40) (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.1.3.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\sin (40) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \cos (40) (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.1.3.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sin (40) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \cos (40) (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.1.3.8.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.3.8.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sin (40) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \cos (40) (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Etapa 1.1.3.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sin (40) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \cos (40) (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Etapa 1.1.3.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sin (40) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \cos (40) \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Etapa 1.1.4

Combine $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ e $\cos (40)$ .

$\frac{\sin (40) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cos (40)}{4}$

Etapa 1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sin (40) (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cos (40)}{4}$

Etapa 2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (40) \sqrt{6} + \sin (40) \sqrt{2} - (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cos (40)}{4}$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (40) \sqrt{6} + \sin (40) \sqrt{2} + (- \sqrt{6} - - \sqrt{2}) \cos (40)}{4}$

Etapa 2.3

Multiplique $- - \sqrt{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (40) \sqrt{6} + \sin (40) \sqrt{2} + (- \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}) \cos (40)}{4}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{\sin (40) \sqrt{6} + \sin (40) \sqrt{2} + (- \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cos (40)}{4}$

Etapa 2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (40) \sqrt{6} + \sin (40) \sqrt{2} - \sqrt{6} \cos (40) + \sqrt{2} \cos (40)}{4}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sin (40) \sqrt{6} + \sin (40) \sqrt{2} - \sqrt{6} \cos (40) + \sqrt{2} \cos (40)}{4}$

Forma decimal:

$0.42261826 \dots$