Pré-cálculo Exemplos

$\sin (255) - \sin (- 15)$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

O valor exato de $\sin (255)$ é $- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$- \sin (75) - \sin (- 15)$

Etapa 1.1.2

Divida $75$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$- \sin (30 + 45) - \sin (- 15)$

Etapa 1.1.3

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

$- (\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) - \sin (- 15)$

Etapa 1.1.4

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) - \sin (- 15)$

Etapa 1.1.5

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)) - \sin (- 15)$

Etapa 1.1.6

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)) - \sin (- 15)$

Etapa 1.1.7

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - \sin (- 15)$

Etapa 1.1.8

Simplifique $- (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1.1

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - \sin (- 15)$

Etapa 1.1.8.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - \sin (- 15)$

Etapa 1.1.8.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) - \sin (- 15)$

Etapa 1.1.8.1.2.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) - \sin (- 15)$

Etapa 1.1.8.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) - \sin (- 15)$

Etapa 1.1.8.1.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) - \sin (- 15)$

Etapa 1.1.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - \sin (- 15)$

Etapa 1.2

O valor exato de $\sin (- 15)$ é $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - \sin (15)$

Etapa 1.2.2

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - \sin (45 - 30)$

Etapa 1.2.3

Separar negativação.

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - \sin (45 - (30))$

Etapa 1.2.4

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Etapa 1.2.5

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Etapa 1.2.6

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

Etapa 1.2.7

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

Etapa 1.2.8

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.2.9

Simplifique $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.2.9.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.2.9.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.2.9.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.2.9.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Etapa 1.2.9.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Etapa 1.2.9.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} - - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Etapa 1.3

Multiplique $- - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + 1 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- (\sqrt{2} + \sqrt{6}) + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Etapa 2.3

Subtraia $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{6}}{4}$

Etapa 2.4

Some $- \sqrt{6}$ e $\sqrt{6}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2} + 0}{4}$

Etapa 2.5

Some $- 2 \sqrt{2}$ e $0$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{4}$

Etapa 2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (2)}$

Etapa 2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$- 0.70710678 \dots$