Pré-cálculo Exemplos

$\sin (\frac{11 π}{12}) - \sin (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

O valor exato de $\sin (\frac{11 π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\sin (\frac{π}{12}) - \sin (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.1.2

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.1.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.1.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.1.6

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.1.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sin (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.1.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.1.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sin (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.1.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sin (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.1.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sin (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.1.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sin (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.1.8.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.8.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.1.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} - \sin (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.1.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sin (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.2

O valor exato de $\sin (\frac{7 π}{12})$ é $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Reescreva $\frac{7 π}{12}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Etapa 1.2.2

Aplique a fórmula do arco metade do seno.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

Etapa 1.2.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o seno é positivo no segundo quadrante.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Etapa 1.2.4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

Etapa 1.2.4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 1.2.4.3

Multiplique $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.2.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 1.2.4.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 1.2.4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 1.2.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 1.2.4.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.4.7

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.2.4.7.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.4.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

Etapa 1.2.4.8

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 1.2.4.9

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.4.9.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 1.2.4.9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Etapa 2

Para escrever $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot 2}{4}$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot 2}{4}$

Etapa 5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{4}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{4}$

Forma decimal:

$- 0.70710678 \dots$