Pré-cálculo Exemplos

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$

Etapa 1

Para escrever $\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1}$ .

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\sin (t) (\cos (t) + 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)}$ por $\frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1}$ .

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$ por $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{(\cos (t) + 1) \sin (t)}$

Etapa 3.3

Reordene os fatores de $(\cos (t) + 1) \sin (t)$ .

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Expanda $(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (t) (\cos (t) + 1) - 1 (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5.2

Combine os termos opostos em $\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1$ .

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Etapa 5.2.1

Reorganize os fatores nos termos $\cos (t) \cdot 1$ e $- 1 \cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t) + 1 \cos (t) - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5.2.2

Subtraia $1 \cos (t)$ de $1 \cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t) + 0 - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5.2.3

Some $\cos (t) \cos (t)$ e $0$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $\cos (t) \cos (t)$ .

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Etapa 5.3.1.1

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5.3.1.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5.3.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\cos (t)}^{1 + 1} - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5.3.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) - 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5.4

Reordene $\cos^{2} (t)$ e $- 1$ .

$\frac{- 1 + \cos^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5.6

Fatore $- 1$ de $\cos^{2} (t)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (t))$ .

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5.8

Reescreva $- 1 (1 - \cos^{2} (t))$ como $- (1 - \cos^{2} (t))$ .

$\frac{- (1 - \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5.9

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5.10

Multiplique $\sin (t) \sin (t)$ .

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Etapa 5.10.1

Eleve $\sin (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5.10.2

Eleve $\sin (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5.10.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- \sin^{2} (t) + {\sin (t)}^{1 + 1}}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5.10.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{2} (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 5.11

Some $- \sin^{2} (t)$ e $\sin^{2} (t)$ .

$\frac{0}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Etapa 6

Separe as frações.

$\frac{0}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{1}{\sin (t)}$

Etapa 7

Converta de $\frac{1}{\sin (t)}$ em $\csc (t)$ .

$\frac{0}{\cos (t) + 1} \csc (t)$

Etapa 8

Divida $0$ por $\cos (t) + 1$ .

$0 \csc (t)$

Etapa 9

Multiplique $0$ por $\csc (t)$ .

$0$