Pré-cálculo Exemplos

$\frac{3 x + 1}{2 x^{2} - 2} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 2$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{2}) - 2} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{2}) + 2 (- 1)} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{2} - 1)} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Etapa 1.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{2} - 1^{2})} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Etapa 1.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $2 x + 2$ e $2 x^{2} - 8 x + 6$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x) + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Etapa 1.2.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x) + 2 \cdot 1}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Etapa 1.2.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Etapa 1.2.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.4.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2}) - 8 x + 6}$

Etapa 1.2.4.2

Fatore $2$ de $- 8 x$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) + 6}$

Etapa 1.2.4.3

Fatore $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (- 4 x)$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2} - 4 x) + 6}$

Etapa 1.2.4.4

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.4.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 3$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2} - 4 x + 3)}$

Etapa 1.2.4.6

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2} - 4 x + 3)}$

Etapa 1.2.4.7

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{x^{2} - 4 x + 3}$

Etapa 1.3

Fatore $x^{2} - 4 x + 3$ usando o método AC.

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Etapa 1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 3, - 1$

Etapa 1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)}$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)} \cdot \frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(3 x + 1) (x - 3)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)} \cdot \frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)}$ por $\frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)}$ .

$\frac{(3 x + 1) (x - 3)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)} + \frac{(x + 1) (2 (x + 1))}{(x - 3) (x - 1) (2 (x + 1))}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(x - 3) (x - 1) (2 (x + 1))$ .

$\frac{(3 x + 1) (x - 3)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)} + \frac{(x + 1) (2 (x + 1))}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(3 x + 1) (x - 3) + (x + 1) (2 (x + 1))}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Expanda $(3 x + 1) (x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x (x - 3) + 1 (x - 3) + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 1 (x - 3) + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 9 x + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 9 x + x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 9 x + x - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.2.2

Some $- 9 x$ e $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + (x \cdot 2 + 1 \cdot 2) (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + (2 \cdot x + 1 \cdot 2) (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + (2 \cdot x + 2) (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.6

Expanda $(2 x + 2) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x (x + 1) + 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.7.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.7.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.7.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.7.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.7.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x^{2} + 4 x + 2}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.8

Some $3 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} - 8 x - 3 + 4 x + 2}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.9

Some $- 8 x$ e $4 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 4 x - 3 + 2}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.10

Some $- 3$ e $2$ .

$\frac{5 x^{2} - 4 x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.11

Fatore por agrupamento.

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Etapa 6.11.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 5 \cdot - 1 = - 5$ e cuja soma é $b = - 4$ .

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Etapa 6.11.1.1

Fatore $- 4$ de $- 4 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 4 (x) - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.11.1.2

Reescreva $- 4$ como $1$ mais $- 5$

$\frac{5 x^{2} + (1 - 5) x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.11.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x^{2} + 1 x - 5 x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.11.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{5 x^{2} + x - 5 x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.11.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.11.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(5 x^{2} + x) - 5 x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.11.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (5 x + 1) - (5 x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.11.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 x + 1$ .

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Etapa 7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5 x + 1}{2 (x + 1) (x - 3)}$