Pré-cálculo Exemplos

$\frac{6 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\sin (x)$ .

$\frac{6 u^{2} + 5 u + 1}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

Etapa 1.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 6 \cdot 1 = 6$ e cuja soma é $b = 5$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $5$ de $5 u$ .

$\frac{6 u^{2} + 5 (u) + 1}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva $5$ como $2$ mais $3$

$\frac{6 u^{2} + (2 + 3) u + 1}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

Etapa 1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 u^{2} + 2 u + 3 u + 1}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(6 u^{2} + 2 u) + 3 u + 1}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{2 u (3 u + 1) + 1 (3 u + 1)}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

Etapa 1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 u + 1$ .

$\frac{(3 u + 1) (2 u + 1)}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (2 \sin (x) + 1)}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

Etapa 2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\sin (x)$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (2 \sin (x) + 1)}{2 u^{2} + 3 u + 1}$

Etapa 2.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $3$ de $3 u$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (2 \sin (x) + 1)}{2 u^{2} + 3 (u) + 1}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $3$ como $1$ mais $2$

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (2 \sin (x) + 1)}{2 u^{2} + (1 + 2) u + 1}$

Etapa 2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (2 \sin (x) + 1)}{2 u^{2} + 1 u + 2 u + 1}$

Etapa 2.2.1.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (2 \sin (x) + 1)}{2 u^{2} + u + 2 u + 1}$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (2 \sin (x) + 1)}{(2 u^{2} + u) + 2 u + 1}$

Etapa 2.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (2 \sin (x) + 1)}{u (2 u + 1) + 1 (2 u + 1)}$

Etapa 2.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u + 1$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (2 \sin (x) + 1)}{(2 u + 1) (u + 1)}$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (2 \sin (x) + 1)}{(2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}$

Etapa 3

Cancele o fator comum de $2 \sin (x) + 1$ .

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (2 \sin (x) + 1)}{(2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}$

Etapa 3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$