Pré-cálculo Exemplos

$\frac{1}{1 + i} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique o numerador e o denominador de $\frac{1}{1 + 1 i}$ pelo conjugado de $1 + 1 i$ para tornar o denominador real.

$\frac{1}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1.2

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Combine.

$\frac{1 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $1 - i$ por $1$ .

$\frac{1 - i}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Expanda $(1 + 1 i) (1 - i)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 - i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1.2.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1.2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1 - i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1.2.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1.2.3.2.3

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1.2.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i i} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1.2.3.2.5

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1.2.3.2.6

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1.2.3.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1.2.3.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1.2.3.2.9

Some $- 1 i$ e $1 i$ .

$\frac{1 - i}{1 + 0 - i^{2}} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1.2.3.2.10

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1 - i}{1 - i^{2}} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{1 - i}{1 - - 1} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1.2.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 - i}{1 + 1} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1.2.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1 - i}{2} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1.3

Divida a fração $\frac{1 - i}{2}$ em duas frações.

$\frac{1}{2} + \frac{- i}{2} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1}{1 - i}$

Etapa 1.5

Multiplique o numerador e o denominador de $\frac{1}{1 - i}$ pelo conjugado de $1 - i$ para tornar o denominador real.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - (\frac{1}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i})$

Etapa 1.6

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Combine.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Etapa 1.6.2

Multiplique $1 + i$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{(1 - i) (1 + i)}$

Etapa 1.6.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.1

Expanda $(1 - i) (1 + i)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 (1 + i) - i (1 + i)}$

Etapa 1.6.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 \cdot 1 + 1 i - i (1 + i)}$

Etapa 1.6.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 \cdot 1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Etapa 1.6.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.2.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Etapa 1.6.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - i i}$

Etapa 1.6.3.2.3

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)}$

Etapa 1.6.3.2.4

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})}$

Etapa 1.6.3.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}}$

Etapa 1.6.3.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - i^{2}}$

Etapa 1.6.3.2.7

Subtraia $i$ de $1 i$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 0 - i^{2}}$

Etapa 1.6.3.2.8

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 - i^{2}}$

Etapa 1.6.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.3.1

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 - - 1}$

Etapa 1.6.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1}$

Etapa 1.6.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{2}$

Etapa 1.7

Divida a fração $\frac{1 + i}{2}$ em duas frações.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{i}{2})$

Etapa 1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - i - 1 - i}{2}$

Etapa 2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0 - i - i}{2}$

Etapa 2.2.2

Subtraia $i$ de $0$ .

$\frac{- i - i}{2}$

Etapa 2.3

Subtraia $i$ de $- i$ .

$\frac{- 2 i}{2}$

Etapa 2.4

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Fatore $2$ de $- 2 i$ .

$\frac{2 (- i)}{2}$

Etapa 2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- i)}{2 (1)}$

Etapa 2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- i)}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- i}{1}$

Etapa 2.4.2.4

Divida $- i$ por $1$ .

$- i$