Pré-cálculo Exemplos

$\frac{1 - \cos^{4} (x)}{1 + \cos^{2} (x)}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - \cos^{4} (x)}{1 + \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.2

Reescreva $\cos^{4} (x)$ como ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}}{1 + \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \cos^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 - \cos^{2} (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1^{2} - \cos^{2} (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Etapa 2

Cancele o fator comum de $1 + \cos^{2} (x)$ .

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Etapa 2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Etapa 2.2

Divida $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ por $1$ .

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$

Etapa 3

Expanda $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

Etapa 4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- \cos (x)$ por $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

Etapa 4.1.3

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Etapa 4.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos (x) \cos (x)$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 4.1.5.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Etapa 4.1.5.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Etapa 4.1.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}$

Etapa 4.1.5.4

Some $1$ e $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)$

Etapa 4.2

Some $- \cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$1 + 0 - \cos^{2} (x)$

Etapa 4.3

Some $1$ e $0$ .

$1 - \cos^{2} (x)$

Etapa 5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\sin^{2} (x)$