Pré-cálculo Exemplos

$\frac{\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\cos^{2} (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1.3

Mova $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1.4

Reordene $\cos^{2} (x)$ e $- 1$ .

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1.6

Fatore $- 1$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1.8

Reescreva $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ como $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1.9

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{- \sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1.10

Fatore $\sin^{2} (x)$ de $- \sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

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Etapa 1.10.1

Fatore $\sin^{2} (x)$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot - 1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1.10.2

Fatore $\sin^{2} (x)$ de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1.10.3

Fatore $\sin^{2} (x)$ de $\sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1 + \frac{1}{\cos^{2} (x)})}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1.11

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1 + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)})}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1.12

Reescreva $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1 + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2})}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1.13

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1^{2} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2})}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1.14

Reordene $- 1^{2}$ e ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) ({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1^{2})}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1.15

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{1}{\cos (x)}$ e $b = 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 2

Cancele o fator comum de $\sin^{2} (x)$ .

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Etapa 2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 2.2

Divida $(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ por $1$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$

Etapa 3

Expanda $(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Etapa 4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Etapa 4.1.1.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Etapa 4.1.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Etapa 4.1.1.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Etapa 4.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Etapa 4.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Etapa 4.1.2

Combine $\frac{1}{\cos (x)}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Etapa 4.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1$

Etapa 4.2

Some $- \frac{1}{\cos (x)}$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + 0 - 1$

Etapa 4.3

Some $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ e $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1$

Etapa 5.2

Reescreva $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1$

Etapa 5.3

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\sec^{2} (x) - 1$

Etapa 6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\tan^{2} (x)$