Pré-cálculo Exemplos

$2 \cos (\frac{π}{8}) - 1$

Etapa 1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{8})$ é $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Etapa 1.1

Reescreva $\frac{π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$2 \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) - 1$

Etapa 1.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$2 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}) - 1$

Etapa 1.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o cosseno é positivo no primeiro quadrante.

$2 \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} - 1$

Etapa 1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - 1$

Etapa 1.5

Simplifique $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Etapa 1.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - 1$

Etapa 1.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} - 1$

Etapa 1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} - 1$

Etapa 1.5.4

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.5.4.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} - 1$

Etapa 1.5.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} - 1$

Etapa 1.5.5

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} - 1$

Etapa 1.5.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.5.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} - 1$

Etapa 1.5.6.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - 1$

Etapa 2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - 1$

Etapa 2.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{2 + \sqrt{2}} - 1$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\sqrt{2 + \sqrt{2}} - 1$

Forma decimal:

$0.84775906 \dots$