Pré-cálculo Exemplos

$5^{x^{3} - x} = 1$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (5^{x^{3} - x}) = \ln (1)$

Etapa 2

Expanda $\ln (5^{x^{3} - x})$ movendo $x^{3} - x$ para fora do logaritmo.

$(x^{3} - x) \ln (5) = \ln (1)$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} \ln (5) - x \ln (5) = \ln (1)$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$x^{3} \ln (5) - x \ln (5) = 0$

Etapa 5

Fatore $x \ln (5)$ de $x^{3} \ln (5) - x \ln (5)$ .

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Etapa 5.1

Fatore $x \ln (5)$ de $x^{3} \ln (5)$ .

$x \ln (5) x^{2} - x \ln (5) = 0$

Etapa 5.2

Fatore $x \ln (5)$ de $- x \ln (5)$ .

$x \ln (5) x^{2} + x \ln (5) \cdot - 1 = 0$

Etapa 5.3

Fatore $x \ln (5)$ de $x \ln (5) x^{2} + x \ln (5) \cdot - 1$ .

$x \ln (5) (x^{2} - 1) = 0$

Etapa 6

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x \ln (5) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 7

Fatore.

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Etapa 7.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$x \ln (5) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 7.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x \ln (5) (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 8

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 9

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 10

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 10.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 11

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 11.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 12

A solução final são todos os valores que tornam $x \ln (5) (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1, 1$