Pré-cálculo Exemplos

$4^{2 x + 1} - 17 \cdot 4^{x} + 4 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reescreva $4^{2 x + 1}$ como $4^{2 x} \cdot 4^{1}$ .

$4^{2 x} \cdot 4 - 17 \cdot 4^{x} + 4 = 0$

Etapa 1.2

Reescreva $4^{2 x}$ como ${(4^{x})}^{2}$ .

${(4^{x})}^{2} \cdot 4 - 17 \cdot 4^{x} + 4 = 0$

Etapa 1.3

Deixe $u = 4^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $4^{x}$ .

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Etapa 1.3.1

Avalie o expoente.

$u^{2} \cdot 4 - 17 \cdot u + 4 = 0$

Etapa 1.3.2

Mova $4$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$4 u^{2} - 17 u + 4 = 0$

Etapa 1.4

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 4 = 16$ e cuja soma é $b = - 17$ .

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Etapa 1.4.1.1

Fatore $- 17$ de $- 17 u$ .

$4 u^{2} - 17 u + 4 = 0$

Etapa 1.4.1.2

Reescreva $- 17$ como $- 1$ mais $- 16$

$4 u^{2} + (- 1 - 16) u + 4 = 0$

Etapa 1.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 u^{2} - 1 u - 16 u + 4 = 0$

Etapa 1.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 u^{2} - 1 u) - 16 u + 4 = 0$

Etapa 1.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (4 u - 1) - 4 (4 u - 1) = 0$

Etapa 1.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 4) = 0$

Etapa 1.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4^{x}$ .

$(4 \cdot 4^{x} - 1) (4^{x} - 4) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 \cdot 4^{x} - 1 = 0$

$4^{x} - 4 = 0$

Etapa 3

Defina $4 \cdot 4^{x} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $4 \cdot 4^{x} - 1$ como igual a $0$ .

$4 \cdot 4^{x} - 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $4 \cdot 4^{x} - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Multiplique $4$ por $4^{x}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$4^{1} \cdot 4^{x} - 1 = 0$

Etapa 3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4^{1 + x} - 1 = 0$

Etapa 3.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4^{1 + x} = 1$

Etapa 3.2.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (4^{1 + x}) = \ln (1)$

Etapa 3.2.4

Expanda $\ln (4^{1 + x})$ movendo $1 + x$ para fora do logaritmo.

$(1 + x) \ln (4) = \ln (1)$

Etapa 3.2.5

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.5.1

Simplifique $(1 + x) \ln (4)$ .

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Etapa 3.2.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \ln (4) + x \ln (4) = \ln (1)$

Etapa 3.2.5.1.2

Multiplique $\ln (4)$ por $1$ .

$\ln (4) + x \ln (4) = \ln (1)$

Etapa 3.2.6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.6.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\ln (4) + x \ln (4) = 0$

Etapa 3.2.7

Reordene $\ln (4)$ e $x \ln (4)$ .

$x \ln (4) + \ln (4) = 0$

Etapa 3.2.8

Subtraia $\ln (4)$ dos dois lados da equação.

$x \ln (4) = - \ln (4)$

Etapa 3.2.9

Divida cada termo em $x \ln (4) = - \ln (4)$ por $\ln (4)$ e simplifique.

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Etapa 3.2.9.1

Divida cada termo em $x \ln (4) = - \ln (4)$ por $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- \ln (4)}{\ln (4)}$

Etapa 3.2.9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.9.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (4)$ .

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Etapa 3.2.9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- \ln (4)}{\ln (4)}$

Etapa 3.2.9.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{\ln (4)}$

Etapa 3.2.9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.9.3.1

Cancele o fator comum de $\ln (4)$ .

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Etapa 3.2.9.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- \ln (4)}{\ln (4)}$

Etapa 3.2.9.3.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$x = - 1$

Etapa 4

Defina $4^{x} - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $4^{x} - 4$ como igual a $0$ .

$4^{x} - 4 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $4^{x} - 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$4^{x} = 4$

Etapa 4.2.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$4^{x} = 4^{1}$

Etapa 4.2.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 1$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(4 \cdot 4^{x} - 1) (4^{x} - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1$