Pré-cálculo Exemplos

$4^{2 x} - 5 \cdot 4^{x + \frac{1}{2}} + 16 = 0$

Etapa 1

Reescreva $4^{x + \frac{1}{2}}$ como $4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2 x} - 5 \cdot (4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}}) + 16 = 0$

Etapa 2

Reescreva $4^{2 x}$ como exponenciação.

${(4^{x})}^{2} - 5 \cdot (4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}}) + 16 = 0$

Etapa 3

Remova os parênteses.

${(4^{x})}^{2} - 5 \cdot 4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + 16 = 0$

Etapa 4

Substitua $u$ por $4^{x}$ .

$u^{2} - 5 \cdot u \cdot 4^{\frac{1}{2}} + 16 = 0$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u^{2} - 5 u \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} + 16 = 0$

Etapa 5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{2} - 5 u \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + 16 = 0$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$u^{2} - 5 u \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + 16 = 0$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$u^{2} - 5 u \cdot 2 + 16 = 0$

Etapa 5.4

Avalie o expoente.

$u^{2} - 5 u \cdot 2 + 16 = 0$

Etapa 5.5

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$u^{2} - 10 u + 16 = 0$

Etapa 6

Resolva $u$ .

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Etapa 6.1

Fatore $u^{2} - 10 u + 16$ usando o método AC.

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Etapa 6.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $16$ e cuja soma é $- 10$ .

$- 8, - 2$

Etapa 6.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 8) (u - 2) = 0$

Etapa 6.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 2 = 0$

Etapa 6.3

Defina $u - 8$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 6.3.1

Defina $u - 8$ como igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

Etapa 6.3.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$u = 8$

Etapa 6.4

Defina $u - 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 6.4.1

Defina $u - 2$ como igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Etapa 6.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$u = 2$

Etapa 6.5

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 8) (u - 2) = 0$ verdadeiro.

$u = 8, 2$

Etapa 7

Substitua $8$ por $u$ em $u = 4^{x}$ .

$8 = 4^{x}$

Etapa 8

Resolva $8 = 4^{x}$ .

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Etapa 8.1

Reescreva a equação como $4^{x} = 8$ .

$4^{x} = 8$

Etapa 8.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$2^{2 x} = 2^{3}$

Etapa 8.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$2 x = 3$

Etapa 8.4

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 8.4.1

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 8.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 8.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 9

Substitua $2$ por $u$ em $u = 4^{x}$ .

$2 = 4^{x}$

Etapa 10

Resolva $2 = 4^{x}$ .

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Etapa 10.1

Reescreva a equação como $4^{x} = 2$ .

$4^{x} = 2$

Etapa 10.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$2^{2 x} = 2^{1}$

Etapa 10.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$2 x = 1$

Etapa 10.4

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 10.4.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 10.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 11

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$x = 1.5, 0.5$

Forma de número misto:

$x = 1 \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$