Pré-cálculo Exemplos

$3^{2 x} + 35 = 12 (3^{x})$

Etapa 1

Subtraia $12 \cdot 3^{x}$ dos dois lados da equação.

$3^{2 x} + 35 - 12 \cdot 3^{x} = 0$

Etapa 2

Reescreva $3^{2 x}$ como exponenciação.

${(3^{x})}^{2} + 35 - 12 \cdot 3^{x} = 0$

Etapa 3

Substitua $u$ por $3^{x}$ .

$u^{2} + 35 - 12 u = 0$

Etapa 4

Mova $35$ .

$u^{2} - 12 u + 35 = 0$

Etapa 5

Resolva $u$ .

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Etapa 5.1

Fatore $u^{2} - 12 u + 35$ usando o método AC.

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Etapa 5.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $35$ e cuja soma é $- 12$ .

$- 7, - 5$

Etapa 5.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 7) (u - 5) = 0$

Etapa 5.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 7 = 0$

$u - 5 = 0$

Etapa 5.3

Defina $u - 7$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.3.1

Defina $u - 7$ como igual a $0$ .

$u - 7 = 0$

Etapa 5.3.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$u = 7$

Etapa 5.4

Defina $u - 5$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $u - 5$ como igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

Etapa 5.4.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$u = 5$

Etapa 5.5

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 7) (u - 5) = 0$ verdadeiro.

$u = 7, 5$

Etapa 6

Substitua $7$ por $u$ em $u = 3^{x}$ .

$7 = 3^{x}$

Etapa 7

Resolva $7 = 3^{x}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva a equação como $3^{x} = 7$ .

$3^{x} = 7$

Etapa 7.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3^{x}) = \ln (7)$

Etapa 7.3

Expanda $\ln (3^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (7)$

Etapa 7.4

Divida cada termo em $x \ln (3) = \ln (7)$ por $\ln (3)$ e simplifique.

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Etapa 7.4.1

Divida cada termo em $x \ln (3) = \ln (7)$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}$

Etapa 7.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

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Etapa 7.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}$

Etapa 7.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}$

Etapa 8

Substitua $5$ por $u$ em $u = 3^{x}$ .

$5 = 3^{x}$

Etapa 9

Resolva $5 = 3^{x}$ .

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Etapa 9.1

Reescreva a equação como $3^{x} = 5$ .

$3^{x} = 5$

Etapa 9.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3^{x}) = \ln (5)$

Etapa 9.3

Expanda $\ln (3^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (5)$

Etapa 9.4

Divida cada termo em $x \ln (3) = \ln (5)$ por $\ln (3)$ e simplifique.

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Etapa 9.4.1

Divida cada termo em $x \ln (3) = \ln (5)$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Etapa 9.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

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Etapa 9.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Etapa 9.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Etapa 10

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}, \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}, \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Forma decimal:

$x = 1.77124374 \dots, 1.46497352 \dots$