Pré-cálculo Exemplos

$3^{2 x} - 24 \cdot 3^{x} - 81 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reescreva $3^{2 x}$ como ${(3^{x})}^{2}$ .

${(3^{x})}^{2} - 24 \cdot 3^{x} - 81 = 0$

Etapa 1.2

Deixe $u = 3^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $3^{x}$ .

$u^{2} - 24 u - 81 = 0$

Etapa 1.3

Fatore $u^{2} - 24 u - 81$ usando o método AC.

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Etapa 1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 81$ e cuja soma é $- 24$ .

$- 27, 3$

Etapa 1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 27) (u + 3) = 0$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3^{x}$ .

$(3^{x} - 27) (3^{x} + 3) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3^{x} - 27 = 0$

$3^{x} + 3 = 0$

Etapa 3

Defina $3^{x} - 27$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $3^{x} - 27$ como igual a $0$ .

$3^{x} - 27 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $3^{x} - 27 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $27$ aos dois lados da equação.

$3^{x} = 27$

Etapa 3.2.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$3^{x} = 3^{3}$

Etapa 3.2.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 3$

Etapa 4

Defina $3^{x} + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $3^{x} + 3$ como igual a $0$ .

$3^{x} + 3 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $3^{x} + 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$3^{x} = - 3$

Etapa 4.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3^{x}) = \ln (- 3)$

Etapa 4.2.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 3)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.2.4

Não há uma solução para $3^{x} = - 3$

Nenhuma solução

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(3^{x} - 27) (3^{x} + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 3$