Pré-cálculo Exemplos

$7^{x^{2}} = 8^{9 - x}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo dos dois lados da equação.

$\ln (7^{x^{2}}) = \ln (8^{9 - x})$

Etapa 2

Expanda $\ln (7^{x^{2}})$ movendo $x^{2}$ para fora do logaritmo.

$x^{2} \ln (7) = \ln (8^{9 - x})$

Etapa 3

Expanda $\ln (8^{9 - x})$ movendo $9 - x$ para fora do logaritmo.

$x^{2} \ln (7) = (9 - x) \ln (8)$

Etapa 4

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \ln (7) = 9 \ln (8) - x \ln (8)$

Etapa 4.2

Some $x \ln (8)$ aos dois lados da equação.

$x^{2} \ln (7) + x \ln (8) = 9 \ln (8)$

Etapa 4.3

Subtraia $9 \ln (8)$ dos dois lados da equação.

$x^{2} \ln (7) + x \ln (8) - 9 \ln (8) = 0$

Etapa 4.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.5

Substitua os valores $a = \ln (7)$ , $b = \ln (8)$ e $c = - 9 \ln (8)$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln^{2} (8) - 4 \cdot (\ln (7) \cdot (- 9 \ln (8)))}}{2 \ln (7)}$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Fatore $\ln (8)$ de $\ln^{2} (8) - 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9 \ln (8)$ .

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Etapa 4.6.1.1

Fatore $\ln (8)$ de $\ln^{2} (8)$ .

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) \ln (8) - 4 \cdot \ln (7) \cdot (- 9 \ln (8))}}{2 \ln (7)}$

Etapa 4.6.1.2

Fatore $\ln (8)$ de $- 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9 \ln (8)$ .

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) \ln (8) + \ln (8) (- 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9)}}{2 \ln (7)}$

Etapa 4.6.1.3

Fatore $\ln (8)$ de $\ln (8) \ln (8) + \ln (8) (- 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9)$ .

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) (\ln (8) - 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9)}}{2 \ln (7)}$

Etapa 4.6.2

Multiplique $- 9$ por $- 4$ .

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}$

Etapa 4.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{\ln (8) - \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}, - \frac{\ln (8) + \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{\ln (8) - \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}, - \frac{\ln (8) + \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}$

Forma decimal:

$x = 2.61260549 \dots, - 3.68122705 \dots$