Pré-cálculo Exemplos

$e^{2 x} + e^{x} - 2 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reescreva $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

${(e^{x})}^{2} + e^{x} - 2 = 0$

Etapa 1.2

Deixe $u = e^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $e^{x}$ .

$u^{2} + u - 2 = 0$

Etapa 1.3

Fatore $u^{2} + u - 2$ usando o método AC.

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Etapa 1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2$

Etapa 1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x}$ .

$(e^{x} - 1) (e^{x} + 2) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} - 1 = 0$

$e^{x} + 2 = 0$

Etapa 3

Defina $e^{x} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $e^{x} - 1$ como igual a $0$ .

$e^{x} - 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $e^{x} - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$e^{x} = 1$

Etapa 3.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Etapa 3.2.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Etapa 3.2.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Etapa 3.2.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (1)$

Etapa 3.2.4

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4

Defina $e^{x} + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $e^{x} + 2$ como igual a $0$ .

$e^{x} + 2 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $e^{x} + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$e^{x} = - 2$

Etapa 4.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 2)$

Etapa 4.2.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 2)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.2.4

Não há uma solução para $e^{x} = - 2$

Nenhuma solução

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(e^{x} - 1) (e^{x} + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0$