Pré-cálculo Exemplos

$e^{2 x} - 6 e^{x} + 9 = 0$

Etapa 1

Reescreva $e^{2 x}$ como exponenciação.

${(e^{x})}^{2} - 6 e^{x} + 9 = 0$

Etapa 2

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$u^{2} - 6 u + 9 = 0$

Etapa 3

Resolva $u$ .

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Etapa 3.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$u^{2} - 6 u + 3^{2} = 0$

Etapa 3.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Etapa 3.1.3

Reescreva o polinômio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Etapa 3.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 3$ .

${(u - 3)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Defina $u - 3$ como igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Etapa 3.3

Some $3$ aos dois lados da equação.

$u = 3$

Etapa 4

Substitua $3$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$3 = e^{x}$

Etapa 5

Resolva $3 = e^{x}$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $e^{x} = 3$ .

$e^{x} = 3$

Etapa 5.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Etapa 5.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Etapa 5.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Etapa 5.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (3)$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \ln (3)$

Forma decimal:

$x = 1.09861228 \dots$