Pré-cálculo Exemplos

$e^{2 x} + 7 e^{x} - 3 = 0$

Etapa 1

Reescreva $e^{2 x}$ como exponenciação.

${(e^{x})}^{2} + 7 e^{x} - 3 = 0$

Etapa 2

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$u^{2} + 7 u - 3 = 0$

Etapa 3

Resolva $u$ .

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Etapa 3.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 7$ e $c = - 3$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ .

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Etapa 3.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.1.3

Some $49$ e $12$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{61}}{2}$

Etapa 3.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

Etapa 4

Substitua $- \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$- \frac{7 - \sqrt{61}}{2} = e^{x}$

Etapa 5

Resolva $- \frac{7 - \sqrt{61}}{2} = e^{x}$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $e^{x} = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$ .

$e^{x} = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$

Etapa 5.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Etapa 5.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Etapa 5.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Etapa 5.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Etapa 6

Substitua $- \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$- \frac{7 + \sqrt{61}}{2} = e^{x}$

Etapa 7

Resolva $- \frac{7 + \sqrt{61}}{2} = e^{x}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva a equação como $e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$ .

$e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

Etapa 7.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{7 + \sqrt{61}}{2})$

Etapa 7.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- \frac{7 + \sqrt{61}}{2})$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 7.4

Não há uma solução para $e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

Nenhuma solução

Etapa 8

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Forma decimal:

$x = - 0.90356001 \dots$