Pré-cálculo Exemplos

$\csc^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

Etapa 1

Substitua $\csc^{2} (x)$ por $\cot^{2} (x) + 1$ com base na identidade $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (x) + 1) - 2 \cot (x) = 0$

Etapa 2

Reordene o polinômio.

$\cot^{2} (x) - 2 \cot (x) + 1 = 0$

Etapa 3

Substitua $u$ por $\cot (x)$ .

${(u)}^{2} - 2 u + 1 = 0$

Etapa 4

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Etapa 4.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Etapa 4.3

Reescreva o polinômio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Etapa 4.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Etapa 5

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 6

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 7

Substitua $\cot (x)$ por $u$ .

$\cot (x) = 1$

Etapa 8

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (1)$

Etapa 9

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.1

O valor exato de $arccot (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 10

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 11

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 11.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 11.2

Combine frações.

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Etapa 11.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 11.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 11.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 11.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 12

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 12.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 12.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 12.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 12.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 13

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$