Pré-cálculo Exemplos

$e^{4 x} - 6 e^{2 x} = 16$

Etapa 1

Reescreva $e^{4 x}$ como exponenciação.

${(e^{x})}^{4} - 6 e^{2 x} = 16$

Etapa 2

Reescreva $e^{2 x}$ como exponenciação.

${(e^{x})}^{4} - 6 {(e^{x})}^{2} = 16$

Etapa 3

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$u^{4} - 6 u^{2} = 16$

Etapa 4

Resolva $u$ .

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Etapa 4.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$u^{4} - 6 u^{2} - 16 = 0$

Etapa 4.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $u^{4}$ como ${(u^{2})}^{2}$ .

${(u^{2})}^{2} - 6 u^{2} - 16 = 0$

Etapa 4.2.2

Deixe $u = u^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $u^{2}$ .

$u^{2} - 6 u - 16 = 0$

Etapa 4.2.3

Fatore $u^{2} - 6 u - 16$ usando o método AC.

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Etapa 4.2.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 16$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 8, 2$

Etapa 4.2.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 8) (u + 2) = 0$

Etapa 4.2.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $u^{2}$ .

$(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$

Etapa 4.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u^{2} - 8 = 0$

$u^{2} + 2 = 0$

Etapa 4.4

Defina $u^{2} - 8$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.4.1

Defina $u^{2} - 8$ como igual a $0$ .

$u^{2} - 8 = 0$

Etapa 4.4.2

Resolva $u^{2} - 8 = 0$ para $u$ .

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Etapa 4.4.2.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$u^{2} = 8$

Etapa 4.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{8}$

Etapa 4.4.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{8}$ .

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Etapa 4.4.2.3.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 4.4.2.3.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$u = \pm \sqrt{4 (2)}$

Etapa 4.4.2.3.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Etapa 4.4.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \pm 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.4.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.4.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$u = 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.4.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$u = - 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.4.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.5

Defina $u^{2} + 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.5.1

Defina $u^{2} + 2$ como igual a $0$ .

$u^{2} + 2 = 0$

Etapa 4.5.2

Resolva $u^{2} + 2 = 0$ para $u$ .

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Etapa 4.5.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$u^{2} = - 2$

Etapa 4.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 2}$

Etapa 4.5.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Etapa 4.5.2.3.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$u = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Etapa 4.5.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Etapa 4.5.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \pm i \sqrt{2}$

Etapa 4.5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$u = i \sqrt{2}$

Etapa 4.5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$u = - i \sqrt{2}$

Etapa 4.5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$u = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 4.6

A solução final são todos os valores que tornam $(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$ verdadeiro.

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 5

Substitua $2 \sqrt{2}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$2 \sqrt{2} = e^{x}$

Etapa 6

Resolva $2 \sqrt{2} = e^{x}$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $e^{x} = 2 \sqrt{2}$ .

$e^{x} = 2 \sqrt{2}$

Etapa 6.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2 \sqrt{2})$

Etapa 6.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2 \sqrt{2})$

Etapa 6.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2 \sqrt{2})$

Etapa 6.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (2 \sqrt{2})$

Etapa 7

Substitua $- 2 \sqrt{2}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$- 2 \sqrt{2} = e^{x}$

Etapa 8

Resolva $- 2 \sqrt{2} = e^{x}$ .

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Etapa 8.1

Reescreva a equação como $e^{x} = - 2 \sqrt{2}$ .

$e^{x} = - 2 \sqrt{2}$

Etapa 8.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 2 \sqrt{2})$

Etapa 8.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 2 \sqrt{2})$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 8.4

Não há uma solução para $e^{x} = - 2 \sqrt{2}$

Nenhuma solução

Etapa 9

Substitua $i \sqrt{2}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$i \sqrt{2} = e^{x}$

Etapa 10

Resolva $i \sqrt{2} = e^{x}$ .

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Etapa 10.1

Reescreva a equação como $e^{x} = i \sqrt{2}$ .

$e^{x} = i \sqrt{2}$

Etapa 10.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{2})$

Etapa 10.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 10.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{2})$

Etapa 10.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{2})$

Etapa 10.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (i \sqrt{2})$

Etapa 10.4

Expanda o lado direito.

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Etapa 10.4.1

Reescreva $\ln (i \sqrt{2})$ como $\ln (i) + \ln (\sqrt{2})$ .

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{2})$

Etapa 10.4.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

Etapa 10.4.3

Expanda $\ln (2^{\frac{1}{2}})$ movendo $\frac{1}{2}$ para fora do logaritmo.

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

Etapa 10.4.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (2)$ .

$x = \ln (i) + \frac{\ln (2)}{2}$

Etapa 10.5

Simplifique.

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Etapa 10.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.5.1.1

Reescreva $\frac{\ln (2)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (2)$ .

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

Etapa 10.5.1.2

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (2)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

Etapa 10.5.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x = \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$

Etapa 11

Substitua $- i \sqrt{2}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$- i \sqrt{2} = e^{x}$

Etapa 12

Resolva $- i \sqrt{2} = e^{x}$ .

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Etapa 12.1

Reescreva a equação como $e^{x} = - i \sqrt{2}$ .

$e^{x} = - i \sqrt{2}$

Etapa 12.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{2})$

Etapa 12.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- i \sqrt{2})$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 12.4

Não há uma solução para $e^{x} = - i \sqrt{2}$

Nenhuma solução

Etapa 13

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \ln (2 \sqrt{2}), \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$