Pré-cálculo Exemplos

$e^{x} (8 - e^{x}) = 16$

Etapa 1

Simplifique $e^{x} (8 - e^{x})$ .

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Etapa 1.1

Simplifique multiplicando.

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Etapa 1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x} \cdot 8 + e^{x} (- e^{x}) = 16$

Etapa 1.1.2

Reordene.

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Etapa 1.1.2.1

Mova $8$ para a esquerda de $e^{x}$ .

$8 \cdot e^{x} + e^{x} (- e^{x}) = 16$

Etapa 1.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 \cdot e^{x} - e^{x} e^{x} = 16$

Etapa 1.2

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.1

Mova $e^{x}$ .

$8 e^{x} - (e^{x} e^{x}) = 16$

Etapa 1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 e^{x} - e^{x + x} = 16$

Etapa 1.2.3

Some $x$ e $x$ .

$8 e^{x} - e^{2 x} = 16$

Etapa 2

Reescreva $e^{2 x}$ como exponenciação.

$8 e^{x} - {(e^{x})}^{2} = 16$

Etapa 3

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$8 u - u^{2} = 16$

Etapa 4

Reordene $8 u$ e $- u^{2}$ .

$- u^{2} + 8 u = 16$

Etapa 5

Resolva $u$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$- u^{2} + 8 u - 16 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2} + 8 u - 16$ .

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Etapa 5.2.1.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 8 u - 16 = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $- 1$ de $8 u$ .

$- (u^{2}) - (- 8 u) - 16 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$- (u^{2}) - (- 8 u) - 1 \cdot 16 = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $- 1$ de $- (u^{2}) - (- 8 u)$ .

$- (u^{2} - 8 u) - 1 \cdot 16 = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (u^{2} - 8 u) - 1 (16)$ .

$- (u^{2} - 8 u + 16) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 5.2.2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$- (u^{2} - 8 u + 4^{2}) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva o polinômio.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Etapa 5.2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 4$ .

$- {(u - 4)}^{2} = 0$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- {(u - 4)}^{2} = 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- {(u - 4)}^{2} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- {(u - 4)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{{(u - 4)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2

Divida ${(u - 4)}^{2}$ por $1$ .

${(u - 4)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

${(u - 4)}^{2} = 0$

Etapa 5.4

Defina $u - 4$ como igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Etapa 5.5

Some $4$ aos dois lados da equação.

$u = 4$

Etapa 6

Substitua $4$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$4 = e^{x}$

Etapa 7

Resolva $4 = e^{x}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva a equação como $e^{x} = 4$ .

$e^{x} = 4$

Etapa 7.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (4)$

Etapa 7.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (4)$

Etapa 7.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (4)$

Etapa 7.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (4)$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \ln (4)$

Forma decimal:

$x = 1.38629436 \dots$