Pré-cálculo Exemplos

$e^{- x} = 125^{2 x + 3}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (125^{2 x + 3})$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Expanda $\ln (e^{- x})$ movendo $- x$ para fora do logaritmo.

$- x \ln (e) = \ln (125^{2 x + 3})$

Etapa 2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$- x \cdot 1 = \ln (125^{2 x + 3})$

Etapa 2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- x = \ln (125^{2 x + 3})$

Etapa 3

Expanda $\ln (125^{2 x + 3})$ movendo $2 x + 3$ para fora do logaritmo.

$- x = (2 x + 3) \ln (125)$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x = 2 x \ln (125) + 3 \ln (125)$

Etapa 5

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- 2 x \ln (125) - 3 \ln (125) = x$

Etapa 6

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$- 2 x \ln (125) - 3 \ln (125) - x = 0$

Etapa 7

Some $3 \ln (125)$ aos dois lados da equação.

$- 2 x \ln (125) - x = 3 \ln (125)$

Etapa 8

Fatore $x$ de $- 2 x \ln (125) - x$ .

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Etapa 8.1

Fatore $x$ de $- 2 x \ln (125)$ .

$x (- 2 \ln (125)) - x = 3 \ln (125)$

Etapa 8.2

Fatore $x$ de $- x$ .

$x (- 2 \ln (125)) + x \cdot - 1 = 3 \ln (125)$

Etapa 8.3

Fatore $x$ de $x (- 2 \ln (125)) + x \cdot - 1$ .

$x (- 2 \ln (125) - 1) = 3 \ln (125)$

Etapa 9

Divida cada termo em $x (- 2 \ln (125) - 1) = 3 \ln (125)$ por $- 2 \ln (125) - 1$ e simplifique.

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Etapa 9.1

Divida cada termo em $x (- 2 \ln (125) - 1) = 3 \ln (125)$ por $- 2 \ln (125) - 1$ .

$\frac{x (- 2 \ln (125) - 1)}{- 2 \ln (125) - 1} = \frac{3 \ln (125)}{- 2 \ln (125) - 1}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum de $- 2 \ln (125) - 1$ .

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Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (- 2 \ln (125) - 1)}{- 2 \ln (125) - 1} = \frac{3 \ln (125)}{- 2 \ln (125) - 1}$

Etapa 9.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3 \ln (125)}{- 2 \ln (125) - 1}$

Etapa 9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.1

Fatore $- 1$ de $- 2 \ln (125)$ .

$x = \frac{3 \ln (125)}{- (2 \ln (125)) - 1}$

Etapa 9.3.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{3 \ln (125)}{- (2 \ln (125)) - 1 (1)}$

Etapa 9.3.3

Fatore $- 1$ de $- (2 \ln (125)) - 1 (1)$ .

$x = \frac{3 \ln (125)}{- (2 \ln (125) + 1)}$

Etapa 9.3.4

Reescreva os negativos.

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Etapa 9.3.4.1

Reescreva $- (2 \ln (125) + 1)$ como $- 1 (2 \ln (125) + 1)$ .

$x = \frac{3 \ln (125)}{- 1 (2 \ln (125) + 1)}$

Etapa 9.3.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 \ln (125)}{2 \ln (125) + 1}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{3 \ln (125)}{2 \ln (125) + 1}$

Forma decimal:

$x = - 1.35924252 \dots$