Pré-cálculo Exemplos

$\sin^{2} (x) + \sin (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

${(u)}^{2} + u = \frac{1}{2}$

Etapa 2

Subtraia $\frac{1}{2}$ dos dois lados da equação.

$u^{2} + u - \frac{1}{2} = 0$

Etapa 3

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $2$ . Depois, simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (- \frac{1}{2}) = 0$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$2 u^{2} + 2 u - 1 = 0$

Etapa 4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5

Substitua os valores $a = 2$ , $b = 2$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Etapa 6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.3

Some $4$ e $8$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.4

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 6.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 6.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 8

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 9

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 10

Resolva $x$ em $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 10.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Etapa 10.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.1

Avalie $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$ .

$x = 0.37473443$

Etapa 10.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$

Etapa 10.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 10.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265 - 2 π$

Etapa 10.4.2

O ângulo resultante de $2.76685822$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$ .

$x = 2.76685822$

Etapa 10.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 10.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 10.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 10.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 10.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 10.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.37473443 + 2 π n, 2.76685822 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Resolva $x$ em $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 11.1

O intervalo do seno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 12

Liste todas as soluções.

$x = 0.37473443 + 2 π n, 2.76685822 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$