Pré-cálculo Exemplos

$\sin^{2} (x) - 8 \sin (x) - 4 = 0$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

${(u)}^{2} - 8 u - 4 = 0$

Etapa 2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 8$ e $c = - 4$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3

Some $64$ e $16$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4

Reescreva $80$ como $4^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Fatore $16$ de $80$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique $\frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = 4 \pm 2 \sqrt{5}$

Etapa 5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = 4 + 2 \sqrt{5}, 4 - 2 \sqrt{5}$

Etapa 6

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}, 4 - 2 \sqrt{5}$

Etapa 7

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}$

$\sin (x) = 4 - 2 \sqrt{5}$

Etapa 8

Resolva $x$ em $\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Converta o lado direito da equação em seu equivalente decimal.

$\sin (x) = 8.47213595$

Etapa 8.2

O intervalo do seno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $8.47213595$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 9

Resolva $x$ em $\sin (x) = 4 - 2 \sqrt{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Converta o lado direito da equação em seu equivalente decimal.

$\sin (x) = - 0.47213595$

Etapa 9.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 0.47213595)$

Etapa 9.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Avalie $\arcsin (- 0.47213595)$ .

$x = - 0.49171223$

Etapa 9.4

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$

Etapa 9.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Subtraia $2 π$ de $2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265 - 2 π$

Etapa 9.5.2

O ângulo resultante de $3.63330488$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$ .

$x = 3.63330488$

Etapa 9.6

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 9.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 9.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 9.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 9.7

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.1

Some $2 π$ com $- 0.49171223$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 0.49171223 + 2 π$

Etapa 9.7.2

Subtraia $0.49171223$ de $2 π$ .

$5.79147307$

Etapa 9.7.3

Liste os novos ângulos.

$x = 5.79147307$

Etapa 9.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 3.63330488 + 2 π n, 5.79147307 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Liste todas as soluções.

$x = 3.63330488 + 2 π n, 5.79147307 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$